เวกเตอร์ในสามมิติคืออะไร และเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์อย่างไร

เวกเตอร์ในสามมิติคืออะไร

ก่อนที่เราจะไปเจาะลึกถึงเวกเตอร์ในสามมิติ พี่กฤษณ์ขอทวนพื้นฐานกันก่อนว่า เวกเตอร์ คืออะไรครับ

เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาด (Magnitude) และทิศทาง (Direction) ซึ่งแตกต่างจาก สเกลาร์ ที่มีแค่ขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล เวลา หรืออุณหภูมิ ส่วนเวกเตอร์ก็เช่น การกระจัด ความเร็ว แรง หรือโมเมนตัม ครับ

สำหรับ เวกเตอร์ในสามมิติ ก็คือ เวกเตอร์ที่อยู่ในระบบพิกัดฉากสามมิติ หรือที่เราเรียกกันว่า ระบบพิกัด XYZ นั่นเองครับ ถ้าเป็นเวกเตอร์ในสองมิติ เราก็จะมองแค่แกน X และแกน Y แต่พอเป็นสามมิติ เราก็จะมีแกน Z เพิ่มเข้ามา ทำให้เราสามารถอธิบายตำแหน่ง ทิศทาง และแรงต่างๆ ในอวกาศได้สมจริงยิ่งขึ้นครับ

การเขียนและส่วนประกอบของเวกเตอร์ในสามมิติ

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถเขียนเวกเตอร์ในสามมิติได้หลายรูปแบบครับ รูปแบบที่นิยมใช้กันคือ การเขียนในรูปของเวกเตอร์ส่วนประกอบ (Component Form) ซึ่งจะบอกว่าเวกเตอร์นั้นๆ มีส่วนประกอบตามแกน X, Y และ Z เท่าไร

เราสามารถเขียนเวกเตอร์ $vec{v}$ ในสามมิติ ได้ดังนี้ครับ

• ในรูปเมทริกซ์หลัก:
  $vec{v} = begin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix}$
• ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐาน (Standard Unit Vectors):
  $vec{v} = xmathbf{i} + ymathbf{j} + zmathbf{k}$
  โดยที่
  • $mathbf{i}$ คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางแกน X (มีค่าเท่ากับ $begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$ ครับ)
  • $mathbf{j}$ คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางแกน Y
  • $mathbf{k}$ คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางแกน Z

ส่วน ขนาดของเวกเตอร์ (Magnitude) $vec{v}$ ที่มีส่วนประกอบ $(x, y, z)$ สามารถหาได้จากสูตรพีทาโกรัสในสามมิติครับ

$|vec{v}| = sqrt{x^2+y^2+z^2}$

การดำเนินการของเวกเตอร์ในสามมิติ

เวกเตอร์มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายอย่างที่เราต้องรู้ครับ

1. การบวกและการลบเวกเตอร์:

ทำได้ง่ายๆ โดยการนำส่วนประกอบที่ตรงกันในแต่ละแกนมาบวกหรือลบกันครับ

ให้ $vec{a} = x_1mathbf{i} + y_1mathbf{j} + z_1mathbf{k}$ และ $vec{b} = x_2mathbf{i} + y_2mathbf{j} + z_2mathbf{k}$ ครับ

• การบวก:
  $vec{a} + vec{b} = (x_1+x_2)mathbf{i} + (y_1+y_2)mathbf{j} + (z_1+z_2)mathbf{k}$
• การลบ:
  $vec{a} – vec{b} = (x_1-x_2)mathbf{i} + (y_1-y_2)mathbf{j} + (z_1-z_2)mathbf{k}$

2. การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์:

นำสเกลาร์นั้นไปคูณกับทุกส่วนประกอบของเวกเตอร์ครับ

ถ้า $c$ เป็นสเกลาร์ และ $vec{a} = xmathbf{i} + ymathbf{j} + zmathbf{k}$ ครับ

$cvec{a} = (cx)mathbf{i} + (cy)mathbf{j} + (cz)mathbf{k}$

3. ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product หรือ Scalar Product):

ผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณแบบนี้จะเป็น สเกลาร์ ครับ ใช้สำหรับหามุมระหว่างเวกเตอร์หรือหาการฉายภาพ (projection) ของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง

ถ้า $vec{a} = x_1mathbf{i} + y_1mathbf{j} + z_1mathbf{k}$ และ $vec{b} = x_2mathbf{i} + y_2mathbf{j} + z_2mathbf{k}$ ครับ

$vec{a} cdot vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

และอีกสูตรที่สำคัญในการหามุม $theta$ ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองครับ

$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$

4. ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product หรือ Vector Product):

ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น เวกเตอร์ ที่มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์ทั้งสองอยู่ และมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ทั้งสองครับ ใช้มือขวากำหนดทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์นะครับ (กฎมือขวา)

สำหรับ $vec{a} times vec{b}$ จะหาได้จากการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ครับ

$vec{a} times vec{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end{vmatrix}$

และขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์คือ

$|vec{a} times vec{b}| = |vec{a}||vec{b}|sintheta$

เวกเตอร์ในสามมิติเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์อย่างไร

นี่คือหัวใจสำคัญของการเรียนเวกเตอร์เลยครับ เพราะฟิสิกส์หลายแขนงใช้เวกเตอร์ในการอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ได้อย่างแม่นยำและเป็นธรรมชาติมาก

1. การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง

ในฟิสิกส์ การเคลื่อนที่ในสามมิติ เช่น การเคลื่อนที่ของเครื่องบิน หรือการเคลื่อนที่ของดาวเทียม ต้องใช้เวกเตอร์ในการอธิบายตำแหน่ง การกระจัด ความเร็ว และความเร่งครับ

• ตำแหน่ง (Position Vector): เราสามารถใช้เวกเตอร์ตำแหน่ง $vec{r}(t) = x(t)mathbf{i} + y(t)mathbf{j} + z(t)mathbf{k}$ เพื่อบอกพิกัดของอนุภาค ณ เวลา $t$ ใดๆ ได้ครับ
• ความเร็ว (Velocity Vector): คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ตำแหน่งเทียบกับเวลา
  $vec{v}(t) = frac{dvec{r}}{dt} = frac{dx}{dt}mathbf{i} + frac{dy}{dt}mathbf{j} + frac{dz}{dt}mathbf{k}$
• ความเร่ง (Acceleration Vector): คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเร็วเทียบกับเวลา
  $vec{a}(t) = frac{dvec{v}}{dt} = frac{d^2vec{r}}{dt^2}$

2. แรง (Force)

ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอครับ โดยแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุในสามมิติก็คือผลรวมของเวกเตอร์แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นๆ นั่นเองครับ

$vec{F}_{text{net}} = sum vec{F}_i = mvec{a}$

เราสามารถแตกแรงออกเป็นส่วนประกอบในแต่ละแกน (X, Y, Z) แล้วนำมารวมกัน เพื่อหาแรงลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทางได้ครับ เช่น หากมีแรง $vec{F}_1 = 2mathbf{i} + 3mathbf{j} – mathbf{k}$ นิวตัน และ $vec{F}_2 = mathbf{i} – 2mathbf{j} + 4mathbf{k}$ นิวตัน กระทำต่อวัตถุเดียวกัน แรงลัพธ์ก็จะเป็น $vec{F}_{text{net}} = (2+1)mathbf{i} + (3-2)mathbf{j} + (-1+4)mathbf{k} = 3mathbf{i} + mathbf{j} + 3mathbf{k}$ นิวตัน ครับ

3. งาน (Work Done)

ในฟิสิกส์ งาน (Work) เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งเกิดจากการกระทำของแรงไปตามแนวการกระจัด เราสามารถหางานที่เกิดจากแรง $vec{F}$ และการกระจัด $vec{s}$ ได้โดยใช้ผลคูณเชิงสเกลาร์ครับ

$W = vec{F} cdot vec{s}$

เช่น หากมีแรง $vec{F} = 3mathbf{i} + 4mathbf{j} + 2mathbf{k}$ นิวตัน กระทำต่อวัตถุหนึ่ง ทำให้วัตถุมีการกระจัด $vec{s} = 5mathbf{i} – mathbf{j} + 3mathbf{k}$ เมตร งานที่ทำได้คือ $W = (3)(5) + (4)(-1) + (2)(3) = 15 – 4 + 6 = 17$