ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ กับปริศนาทฤษฎีบทสุดท้ายที่ใช้เวลาพิสูจน์กว่าสามร้อยปี

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ กับปริศนาทฤษฎีบทสุดท้ายที่ใช้เวลาพิสูจน์กว่าสามร้อยปี

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) ไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์อาชีพอย่างที่เราเข้าใจกันในปัจจุบันครับ เขาเป็นทนายความและข้าราชการผู้มีชื่อเสียงในศาลเมืองตูลูส ประเทศฝรั่งเศส แต่เขากลับหลงใหลในคณิตศาสตร์เป็นอย่างมาก และใช้เวลาว่างส่วนใหญ่ไปกับการศึกษาและค้นคว้าวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาเลขคณิตทฤษฎี (number theory) ซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับสมบัติของจำนวนเต็ม ด้วยความสามารถอันโดดเด่นของเขา ทำให้แฟร์มาต์ได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ และมักถูกเรียกว่าเป็น “ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น” เพราะผลงานของเขานั้นลึกซึ้งและกว้างขวางเทียบเท่านักคณิตศาสตร์มืออาชีพเลยทีเดียวครับ

ผลงานชิ้นสำคัญที่แฟร์มาต์ได้สร้างขึ้นมากมาย รวมถึงการวางรากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์ (analytic geometry) และเป็นผู้บุกเบิกในเรื่องความน่าจะเป็นร่วมกับปาสกาล นอกจากนี้เขายังได้เสนอทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะอีกหลายข้อ แต่ที่โด่งดังและสร้างความปวดหัวให้กับนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกมากที่สุดคือ “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์” (Fermat’s Last Theorem) นั่นเองครับ

จุดเริ่มต้นของปริศนา: ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เกิดขึ้นจากข้อความสั้นๆ ที่แฟร์มาต์เขียนไว้ที่ขอบหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica ของไดโอแฟนตัส (Diophantus) ซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์โบราณที่แฟร์มาต์ชื่นชอบมากๆ ข้อความนั้นกล่าวว่า:

ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, และ z ที่สอดคล้องกับสมการ

$x^n + y^n = z^n$

สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 2

แฟร์มาต์ยังได้เขียนเสริมไว้อีกว่า “ข้าพเจ้าค้นพบการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมสำหรับทฤษฎีบทนี้แล้ว แต่ขอบหน้ากระดาษนี้เล็กเกินกว่าจะเขียนทั้งหมดได้” (I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain.) ซึ่งเป็นประโยคที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องเผชิญกับความท้าทายอันยิ่งใหญ่มาหลายศตวรรษครับ เพราะแฟร์มาต์ไม่เคยเผยแพร่การพิสูจน์ที่เขากล่าวอ้างออกมาเลย ไม่ว่าจะในรูปจดหมายหรือเอกสารส่วนตัวอื่นๆ ที่ถูกค้นพบหลังการเสียชีวิตของเขา

น้องๆ หลายคนอาจจะคุ้นเคยกับกรณีที่ $n = 2$ ใช่ไหมครับ นั่นก็คือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่กล่าวว่า $a^2 + b^2 = c^2$ ซึ่งมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกมากมายเลยครับ เราเรียกคำตอบเหล่านี้ว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triples) เช่น

• สำหรับ
  $a = 3, b = 4, c = 5$ จะได้
  $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
• สำหรับ
  $a = 5, b = 12, c = 13$ จะได้
  $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$

ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กลับบอกว่า พอเปลี่ยน
$n$
เป็น
$3, 4, 5, dots$
ปุ๊บ จะหาคำตอบ
$x, y, z$
ที่เป็นจำนวนเต็มบวกไม่ได้เลย ฟังดูง่าย แต่พิสูจน์ยากมากจริงๆ ครับ

น้องๆ อาจจะสงสัยว่าทำไมมันถึงยากขนาดนั้น จริงๆ แล้ว สมการ
$x^n + y^n = z^n$
เป็นส่วนหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine equations) ซึ่งเป็นสมการที่เราต้องการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม (หรือบางครั้งก็เป็นจำนวนตรรกยะ) สมการเหล่านี้มักจะดูเรียบง่าย แต่การหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มกลับเป็นเรื่องที่ซับซ้อนและต้องใช้ความเข้าใจเชิงลึกในทฤษฎีจำนวน

ยกตัวอย่างสมการไดโอแฟนไทน์ที่ง่ายกว่า เช่น การหาจำนวนเต็ม $x, y$ ที่สอดคล้องกับสมการ $2x + 3y = 7$
เราอาจจะเริ่มจากการลองแทนค่า เช่น

• ถ้า $x = 2$, จะได้ $4 + 3y = 7 Rightarrow 3y = 3 Rightarrow y = 1$ (เป็นคำตอบจำนวนเต็ม)
• ถ้า $x = -1$, จะได้ $-2 + 3y = 7 Rightarrow 3y = 9 Rightarrow y = 3$ (เป็นคำตอบจำนวนเต็ม)

การหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์แบบนี้ มักจะมีการใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด (Euclidean Algorithm) และความรู้เกี่ยวกับจำนวนเต็มมาช่วยในการหาคำตอบครับ แต่สำหรับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นซับซ้อนกว่ามาก เพราะมันบอกว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกเลย เมื่อ
$n > 2$

สามร้อยปีแห่งความพยายาม

หลังจากแฟร์มาต์เสียชีวิตในปี ค.ศ. 1665 นักคณิตศาสตร์หลายต่อหลายคนก็พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ก็ไม่สำเร็จครับ ตลอดเวลาสามร้อยกว่าปี มีการประกาศว่าพิสูจน์ได้แล้วหลายครั้ง แต่ก็มักจะพบข้อผิดพลาดในภายหลังเสมอ ซึ่งความผิดพลาดที่พบบ่อย มักมาจาก

• การสันนิษฐานโดยไม่พิสูจน์: บางครั้งนักคณิตศาสตร์ก็เผลอสมมติคุณสมบัติบางอย่างของจำนวน โดยเฉพาะในระบบจำนวนที่ซับซ้อนขึ้น ซึ่งภายหลังพบว่าไม่เป็นจริง
• ความผิดพลาดทางตรรกะ: การอ้างเหตุผลที่ไม่ถูกต้อง หรือการก้าวกระโดดในการสรุปผล
• ข้อจำกัดทางเครื่องมือคณิตศาสตร์: บางครั้งเครื่องมือหรือแนวคิดทางคณิตศาสตร์ในยุคนั้นยังไม่ก้าวหน้าพอที่จะรับมือกับความซับซ้อนของปัญหาได้

นักคณิตศาสตร์ระดับโลกที่เคยพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และได้สร้างผลงานสำคัญๆ เป็นส่วนๆ เช่น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ซึ่งพิสูจน์ได้สำเร็จในกรณีที่
$n = 3$
(โดยมีจุดผิดพลาดเล็กน้อยที่นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังช่วยแก้ไข) แฟร์มาต์เองก็เคยพิสูจน์กรณี
$n = 4$
ด้วยวิธีการที่เรียกว่า “การลดระดับอย่างอนันต์” (infinite descent) นอกจากนี้ยังมีโซฟี แฌร์แม็ง (Sophie Germain) ที่ได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะบางชนิดเพื่อใช้ในการพิสูจน์ และเออร์นสต์ คัมเมอร์ (Ernst Kummer) ที่ได้พัฒนาทฤษฎีไอเดียลเพื่อพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ก็ยังไม่สมบูรณ์สำหรับทุกค่าของ
$n$
ครับ

จุดเปลี่ยนครั้งสำคัญ: แอนดรูว์ ไวลส์

ผู้ที่ทำให้ปริศนานี้สิ้นสุดลงคือ เซอร์แอนดรูว์ ไวลส์ (Sir Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เขาใช้เวลาถึงเจ็ดปีในการทำงานวิจัยอย่างลับๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ และได้ประกาศผลงานครั้งแรกในปี ค.ศ. 1993 การพิสูจน์ของเขาไม่ได้ทำโดยตรง แต่เป็นการเชื่อมโยงปัญหาทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เข้ากับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันเลย นั่นก็คือ เส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curves) และ รูปแบบมอดูลาร์ (modular forms)

โดยหลักการง่ายๆ คือ ในปี ค.ศ. 1980 นักคณิตศาสตร์ชื่อ แกรฮัม เฟรย์ (Gerd Faltings และ Ken Ribet) ได้ชี้ให้เห็นว่า ถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่เป็นจริง (นั่นคือ มีคำตอบ $x, y, z$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับ $n > 2$) เราจะสามารถสร้าง เส้นโค้งเชิงวงรี ที่มีคุณสมบัติแปลกประหลาดมากๆ ได้ ซึ่งเรียกว่า “เส้นโค้งเฟรย์” (Frey curve) เส้นโค้งนี้จะมีคุณสมบัติที่ไม่สอดคล้องกับ “ข้อความคาดการณ์ทานิยามะ-ชิมูระ-เวยล์” (Taniyama-Shimura-Weil conjecture หรือ T-S-W conjecture) ซึ่งเป็นข้อความคาดการณ์ที่สำคัญมากในทฤษฎีจำนวน และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เชื่อว่าเป็นจริง

เส้นโค้งเชิงวงรี คือสมการของกราฟที่มีรูปร่างคล้ายวงรี แต่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งกว่านั้นมากครับ โดยทั่วไปจะมีรูปแบบประมาณ $y^2 = x^3 + Ax + B$ ส่วน รูปแบบมอดูลาร์ เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีสมมาตรสูงมากๆ ซึ่งเกิดขึ้นในบริบทของจำนวนเชิงซ้อน

หลักฐานที่เชื่อมโยงกันก็คือ ถ้าสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความคาดการณ์ทานิยามะ-ชิมูระ-เวยล์เป็นจริง นั่นหมายความว่าเส้นโค้งเฟรย์ไม่สามารถมีอยู่จริงได้ (เพราะมันจะไม่ใช่รูปแบบมอดูลาร์ตามที่ T-S-W บอก) และนั่นก็จะหมายความว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะต้องเป็นจริงด้วย!

แอนดรูว์ ไวลส์ ได้ใช้ความพยายามอย่างหนักในการพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ทานิยามะ-ชิมูระ-เวยล์สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีบางประเภท รวมถึงเส้นโค้งเฟรย์ด้วย ซึ่งการพิสูจน์นี้มีความซับซ้อนอย่างยิ่ง ครอบคลุมความรู้ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่หลายแขนง รวมถึงพีชคณิตเรขาคณิต (algebraic geometry) และทฤษฎีไอวาสาวะ (Iwasawa theory)

ในปี ค.ศ. 1995 หลังจากที่พบข้อผิดพลาดเล็กน้อยในการพิสูจน์ครั้งแรกและได้แก้ไขร่วมกับริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) ในที่สุด แอนดรูว์ ไวลส์ ก็สามารถนำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่สมบูรณ์แบบได้สำเร็จ ถือเป็นการปิดฉากปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดบทหนึ่งในประวัติศาสตร์ และเป็นชัยชนะของความพยายาม ความมุ่งมั่น และการเชื่อมโยงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เข้าหากัน

ทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญสำหรับน้องๆ

เรื่องราวของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สอนอะไรเราได้มากมายครับ

• ความพากเพียรไม่ย่อท้อ: การที่ปัญหานี้ใช้เวลาแก้ถึง 358 ปี แสดงให้เห็นถึงความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายชั่วอายุคนที่ไม่ยอมแพ้
• ความงามของคณิตศาสตร์: ปัญหาที่ดูเรียบง่ายแค่ $x^n + y^n = z^n$ กลับนำไปสู่การพัฒนาแนวคิดและทฤษฎีใหม่ๆ ที่ลึกซึ้งและสวยงาม
• การเชื่อมโยงความรู้: การพิสูจน์ของไวลส์แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่แขนงแยกส่วน แต่ทุกส่วนสามารถเชื่อมโยงกันได้ และการมองภาพรวมจะช่วยให้เราแก้ปัญหาที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้
• ความคิดสร้างสรรค์: การคิดค้นแนวทางใหม่ๆ ในการแก้ปัญหา โดยเฉพาะการมองปัญหาในมุมที่แตกต่างออกไป คือหัวใจสำคัญของการพัฒนา

ในฐานะน้องๆ ที่กำลังเรียนคณิตศาสตร์ พี่กฤษณ์อยากให้น้องๆ ได้รับแรงบันดาลใจจากเรื่องราวนี้ครับ ไม่ว่าปัญหาจะยากแค่ไหน หากเรามีความตั้งใจ มีเครื่องมือที่เหมาะสม และไม่ย่อท้อ เราก็จะสามารถก้าวผ่านมันไปได้เสมอครับ เหมือนกับการที่เราเจอโจทย์ยากๆ ในห้องสอบ ถ้าเราไม่ยอมแพ้ พยายามทำความเข้าใจหลักการต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง สุดท้ายเราก็จะหาทางออกได้แน่นอนครับ

สรุปแนวคิดสำคัญสำหรับบทความนี้คือ แฟร์มาต์เป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นผู้ยิ่งใหญ่ที่ทิ้งปริศนาทฤษฎีบทสุดท้ายไว้ ปัญหานี้ระบุว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, z ที่สอดคล้องกับ $x^n + y^n = z^n$ สำหรับ $n > 2$ ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส $(n=2)$ ที่มีคำตอบมากมาย ปริศนานี้ท้าทายนักคณิตศาสตร์มานานกว่า 350 ปี และได้รับการพิสูจน์สำเร็จโดยแอนดรูว์ ไวลส์ ในปี 1995 โดยใช้การเชื่อมโยงกับทฤษฎีเส้นโค้งเชิงวงรีและรูปแบบมอดูลาร์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความลึกซึ้งและความเชื่อมโยงอันน่าทึ่งของคณิตศาสตร์

พี่กฤษณ์หวังว่าเรื่องราวของปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ และการพิชิตปริศนาทฤษฎีบทสุดท้ายนี้ จะเป็นแรงบันดาลใจให้น้องๆ รักและสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้นนะครับ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องทฤษฎีจำนวน พีชคณิต หรือเรื่องอื่นๆ คณิตศาสตร์นั้นซ่อนความน่าสนใจและท้าทายไว้เสมอ หากน้องๆ สนใจศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม อยากเพิ่มพูนความรู้ หรือต้องการเทคนิคดีๆ ในการทำโจทย์ ก็สามารถเข้ามาดูรายละเอียดคอร์สเรียนต่างๆ ของพี่กฤษณ์ได้ในเว็บไซต์นี้เลยนะครับ มีทั้งคอร์สสด คอร์สออนไลน์ และคอร์สตัวต่อตัวให้เลือกตามความเหมาะสมเลยครับ