พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุด ด้วยแนวคิดของ Euclid แบบเข้าใจง่าย

พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุด ด้วยแนวคิดของ Euclid แบบเข้าใจง่าย

จำนวนเฉพาะคืออะไร?

ก่อนที่เราจะไปพิสูจน์กัน พี่กฤษณ์อยากให้น้องๆ ทบทวนความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ จำนวนเฉพาะ กันก่อนครับ จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัวเท่านั้น นั่นคือ 1 และตัวของมันเองครับ

ยกตัวอย่างเช่น

• 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบคือ 1 และ 2 เท่านั้น
• 3 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบคือ 1 และ 3 เท่านั้น
• 5 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบคือ 1 และ 5 เท่านั้น
• 7 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบคือ 1 และ 7 เท่านั้น

ส่วนจำนวนอย่าง 4 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะนะครับ เพราะมีตัวประกอบคือ 1, 2, และ 4 ส่วน 6 ก็ไม่ใช่ เพราะมีตัวประกอบคือ 1, 2, 3, และ 6 ครับ จำนวนเหล่านี้เราเรียกว่า จำนวนประกอบ (Composite Numbers) ครับ และที่สำคัญ 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ นะครับ เพราะมีตัวประกอบแค่ตัวเดียวคือ 1 เท่านั้น ไม่เข้าเงื่อนไขที่มีสองตัวประกอบ

จำนวนเฉพาะมีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีจำนวน เพราะเป็นเหมือน ‘อิฐบล็อก’ พื้นฐานที่ประกอบขึ้นเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ครับ ตามทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต (Fundamental Theorem of Arithmetic) กล่าวไว้ว่า ทุกจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้อย่างมีเอกลักษณ์ (Unique Factorization) ครับ

หัวใจของบทพิสูจน์: การพิสูจน์โดยการแย้ง (Proof by Contradiction)

บทพิสูจน์ของยูคลิดนี้ใช้เทคนิคที่เรียกว่า การพิสูจน์โดยการแย้ง หรือ Proof by Contradiction ครับ เทคนิคนี้เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังมากในคณิตศาสตร์ วิธีการคือ:

• ขั้นตอนที่ 1: เราจะ สมมติ ว่าสิ่งที่ตรงข้ามกับสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริง
• ขั้นตอนที่ 2: จากสมมติฐานนั้น เราจะใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เพื่อเดินหน้าต่อจนกระทั่งไปเจอ ข้อขัดแย้ง หรือสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ทางตรรกะ
• ขั้นตอนที่ 3: เมื่อพบข้อขัดแย้ง เราก็สรุปได้ว่า สมมติฐานเริ่มต้นของเรานั้นผิด และสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสมมติฐาน (ซึ่งก็คือสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์) นั้นแหละที่ ต้องเป็นจริง ครับ

สำหรับกรณีของจำนวนเฉพาะ เราต้องการพิสูจน์ว่า “จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุด” ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1 เราจะสมมติว่า “จำนวนเฉพาะมีจำกัด” หรือ “มีจำนวนเฉพาะอยู่แค่จำนวนหนึ่งเท่านั้น” แล้วเราจะไปดูว่าการสมมติแบบนี้มันจะนำไปสู่ความขัดแย้งอะไรได้บ้างครับ

บทพิสูจน์จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุดของยูคลิด

มาเข้าสู่บทพิสูจน์ที่เป็นหัวใจของบทความนี้กันเลยนะครับ

สมมติฐานเริ่มต้น: เราสมมติว่า จำนวนเฉพาะมีจำกัด ครับ

ถ้าจำนวนเฉพาะมีจำกัดจริง เราก็สามารถรวบรวมจำนวนเฉพาะทั้งหมดในโลกนี้มาเรียงกันได้เป็นรายการแบบนี้ใช่ไหมครับ?

$P_1, P_2, P_3, dots, P_k$

โดยที่ $P_k$ คือจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย หรือตัวที่มากที่สุดในโลกนี้ ตามสมมติฐานของเรานะครับ

จากนั้น ยูคลิดได้เสนอให้เราสร้างจำนวนเต็มใหม่ขึ้นมาตัวหนึ่งครับ พี่กฤษณ์ขอเรียกว่า N นะครับ โดยที่ N เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่เราสมมติว่ามีอยู่นั้นมา คูณกันทั้งหมด แล้วบวกด้วย 1 ครับ

$N = (P_1 times P_2 times P_3 times dots times P_k) + 1$

คราวนี้ เรามาพิจารณาเจ้าจำนวน N ตัวนี้กันครับ ว่ามันจะเป็นอะไรได้บ้าง

• กรณีที่ 1: N เป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้าน้องๆ ลองพิจารณาค่าของ N จะเห็นว่า N มีค่า มากกว่า จำนวนเฉพาะทุกตัวในรายการ $P_1, P_2, dots, P_k$ อย่างแน่นอนครับ เพราะ N เกิดจากการเอาจำนวนเฉพาะเหล่านั้นมาคูณกันแล้วบวก 1 มันย่อมใหญ่กว่าตัวใดๆ ในลิสต์นั้น

ดังนั้น ถ้า N เป็นจำนวนเฉพาะจริง หมายความว่าเราได้ค้นพบ จำนวนเฉพาะตัวใหม่ ที่ไม่ได้อยู่ในรายการที่เราสมมติว่ามีจำนวนจำกัดแล้วครับ! นี่คือ ข้อขัดแย้งแรก ครับ

• กรณีที่ 2: N เป็นจำนวนประกอบ

ถ้า N ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ มันก็ต้องเป็นจำนวนประกอบใช่ไหมครับ? และตามทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต (Fundamental Theorem of Arithmetic) ที่เราพูดถึงไปก่อนหน้านี้ ทุกจำนวนประกอบสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เสมอครับ นั่นหมายความว่า N จะต้องมีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว ครับ พี่กฤษณ์ขอเรียกว่า P’ (พี-ไพรม์) ครับ

ตอนนี้แหละครับที่เราต้องมาคิดกันว่า P’ ตัวนี้คืออะไร

P’ จะเป็นจำนวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งในรายการที่เราสมมติไว้ตอนแรก $P_1, P_2, dots, P_k$ ได้หรือไม่?

มาดูกันครับ สมมติว่า P’ เป็นหนึ่งใน $P_i$ ใดๆ ก็ตามในรายการ (เช่น $P_1$ หรือ $P_2$ หรือ $P_k$ ) ถ้า P’ หาร N ลงตัว นั่นหมายความว่า

$N pmod{P’} = 0$

แต่เรารู้ว่า N มีโครงสร้างแบบนี้ครับ

$N = (P_1 times P_2 times P_3 times dots times P_k) + 1$

ถ้า P’ เป็นหนึ่งใน $P_1, P_2, dots, P_k$ แล้วล่ะก็ P’ ย่อม หารผลคูณ $(P_1 times P_2 times P_3 times dots times P_k)$ ลงตัว อย่างแน่นอนครับ

แต่เมื่อ P’ พยายามจะหาร N ซึ่งก็คือ $(P_1 times P_2 times P_3 times dots times P_k)$ บวกด้วย 1

มันจะหารลงตัวได้ยังไงครับ? มันจะต้องเหลือ เศษ 1 เสมอครับ!

$N pmod{P_i} = 1$

นั่นหมายความว่า P’ ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะตัวใดๆ ในรายการ $P_1, P_2, dots, P_k$ ได้เลยครับ!

ถ้า P’ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัวใดๆ ในรายการที่เราสมมติว่ามีจำกัดนี้ ก็แสดงว่า P’ ก็คือ จำนวนเฉพาะตัวใหม่ ที่ไม่ได้อยู่ในลิสต์ที่เรามีแต่แรกอีกแล้วครับ! นี่คือ ข้อขัดแย้งที่สอง ครับ

ไม่ว่าจะเกิดกรณีไหน (N เป็นจำนวนเฉพาะ หรือ N เป็นจำนวนประกอบ) ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือ เราจะเจอจำนวนเฉพาะตัวใหม่เสมอ ที่ไม่ได้อยู่ในรายการเริ่มต้นที่เราสมมติว่ามีจำนวนจำกัด

ดังนั้น สมมติฐานเริ่มต้นที่ว่า “จำนวนเฉพาะมีจำกัด” จึงเป็น เท็จ ครับ

และเมื่อสมมติฐานเริ่มต้นเป็นเท็จ สิ่งที่ตรงกันข้ามก็ต้องเป็นจริง นั่นคือ จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุด นั่นเองครับ พิสูจน์แล้วจบครับ!

ตัวอย่างประกอบการทำความเข้าใจ

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น พี่กฤษณ์จะลองยกตัวอย่างด้วยจำนวนเฉพาะเพียงไม่กี่ตัวนะครับ

สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะแค่ 3 ตัวแรก คือ $P_1=2, P_2=3, P_3=5$ (แน่นอนว่าในความเป็นจริงมีมากกว่านี้ แต่เรากำลังลองสมมติเพื่อทำความเข้าใจ)

เรามาสร้างจำนวน N กันครับ:

$N = (2 times 3 times 5) + 1$
$N = 30 + 1$
$N = 31$

ตอนนี้เราได้ N = 31 ซึ่ง 31 เป็นจำนวนเฉพาะ ครับ! และ 31 ไม่ได้อยู่ในลิสต์เริ่มต้นของเรา (2, 3, 5) แสดงว่าสมมติฐานของเราผิดแล้วครับ เพราะเราเจอจำนวนเฉพาะตัวใหม่

ลองอีกตัวอย่างครับ สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะแค่ 4 ตัวแรก คือ $P_1=2, P_2=3, P_3=5, P_4=7$

สร้าง N:

$N = (2 times 3 times 5 times 7) + 1$
$N = 210 + 1$
$N = 211$

211 ก็เป็นจำนวนเฉพาะอีกแล้วครับ! และมันก็ไม่ได้อยู่ในลิสต์ (2, 3, 5, 7) แสดงว่าสมมติฐานก็ผิดอีก

แล้วถ้าเกิด N เป็นจำนวนประกอบล่ะ?

สมมติว่าลิสต์จำนวนเฉพาะของเราคือ $P_1=2, P_2=3, P_3=5, P_4=7, P_5=11, P_6=13$

$N = (2 times 3 times 5 times 7 times 11 times 13) + 1$
$N = 30030 + 1$
$N = 30031$

จำนวน 30031 นี้เป็นจำนวนประกอบครับ โดยที่ $30031 = 59 times 509$ ครับ

จะเห็นว่า 59 และ 509 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ และทั้ง 59 และ 509 ก็ ไม่ได้อยู่ในลิสต์เริ่มต้นของเรา (2, 3, 5, 7, 11, 13) เลยครับ! เห็นไหมครับว่าไม่ว่า N จะเป็นจำนวนเฉพาะเอง หรือเป็นจำนวนประกอบ ก็จะนำไปสู่การค้นพบจำนวนเฉพาะตัวใหม่เสมอครับ

จุดสำคัญที่ต้องระวังและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

บทพิสูจน์นี้ดูเหมือนจะง่าย แต่ก็มีน้องๆ หลายคนเข้าใจผิดในบางจุดได้ครับ พี่กฤษณ์อยากเน้นย้ำดังนี้ครับ:

• เข้าใจผิดว่า N ต้องเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ: นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเลยครับ! น้องๆ บางคนเห็นตัวอย่างแล้วคิดว่า $N = (P_1 times dots times P_k) + 1$ จะต้องเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ซึ่งไม่จริงนะครับ ตัวอย่าง $N=30031$ ก็แสดงให้เห็นแล้วว่า N เป็นจำนวนประกอบได้ครับ สิ่งสำคัญคือไม่ว่า N จะเป็นอะไร มันก็จะ นำไปสู่การค้นพบจำนวนเฉพาะตัวใหม่ เสมอ
• ไม่เข้าใจหลักการของ Proof by Contradiction: หากน้องๆ ไม่เข้าใจว่าทำไมการเจอ “ข้อขัดแย้ง” ถึงทำให้สมมติฐานเริ่มต้นเป็นเท็จ น้องๆ จะไม่สามารถเชื่อมโยงแนวคิดของยูคลิดได้ทั้งหมดครับ ต้องจำไว้ว่าเมื่อสมมติฐานนำไปสู่สิ่งที่ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์อื่นๆ สมมติฐานนั้นต้องผิด
• การหารลงตัวและเศษเหลือ: จุดสำคัญในการพิสูจน์คือการแสดงให้เห็นว่า $P_i$ ไม่สามารถหาร N ลงตัวได้ นั่นเพราะมันจะเหลือเศษ 1 เสมอ การเข้าใจเรื่องนี้อย่างถ่องแท้เป็นกุญแจสำคัญครับ
• การหลงลืม “1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ”: บางครั้งน้องๆ อาจจะสับสนและพยายามใช้ 1 เป็นตัวประกอบจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะทำให้การพิสูจน์ผิดพลาดไปหมดครับ เพราะ 1 มีคุณสมบัติการหารที่แตกต่างจากจำนวนเฉพาะตัวอื่นๆ

ทำไมแนวคิดนี้ถึงสำคัญ?

บทพิสูจน์ของยูคลิดไม่ใช่แค่การแสดงว่าจำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุดเท่านั้นครับ แต่มันยังมีความสำคัญในหลายแง่มุม:

• ความสง่างามของบทพิสูจน์: เป็นตัวอย่างคลาสสิกของความเรียบง่ายแต่ทรงพลังในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้เพียงหลักการพื้นฐานที่สุดของทฤษฎีจำนวนและตรรกะง่ายๆ เพื่อเปิดเผยความจริงอันลึกซึ้ง
• รากฐานของทฤษฎีจำนวน: เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานที่ปูทางไปสู่การศึกษาทฤษฎีจำนวนที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น การเข้าใจบทพิสูจน์นี้ทำให้น้องๆ มีพื้นฐานที่แข็งแกร่งในการเรียนรู้เรื่องอื่นๆ เช่น การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ (Prime Number Theorem) ซึ่งศึกษาว่าจำนวนเฉพาะปรากฏบ่อยแค่ไหนเมื่อเรานับขึ้นไป หรือแม้แต่สมมติฐานรีมันน์ (Riemann Hypothesis) ซึ่งเป็นปัญหาใหญ่ที่ยังไม่มีใครแก้ได้และเกี่ยวข้องกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ
• การฝึกคิดเชิงตรรกะ: การทำความเข้าใจบทพิสูจน์โดยการแย้ง เป็นการฝึกฝนทักษะการคิดเชิงตรรกะและการให้เหตุผลที่ดีเยี่ยม ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นไม่เฉพาะในคณิตศาสตร์ แต่ในทุกสาขาวิชาและในชีวิตประจำวัน การคิดเป็นระบบและหาจุดขัดแย้งเป็นทักษะที่ประเมินค่าไม่ได้
• แรงบันดาลใจในการค้นคว้า: แม้จะมีการพิสูจน์มานานกว่าสองพันปีแล้ว นักคณิตศาสตร์ก็ยังคงค้นหาวิธีการใหม่ๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ และพยายามทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นอยู่เสมอ ความรู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะยังถูกนำไปประยุกต์ใช้ในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะในเรื่องของการเข้ารหัสลับ (Cryptography) ที่เป็นหัวใจของความปลอดภัยทางข้อมูลในยุคดิจิทัลของเราครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

สรุปอีกครั้งนะครับน้องๆ หัวใจของบทพิสูจน์ของยูคลิดคือ:

• เรา สมมติในทางตรงกันข้าม ว่าจำนวนเฉพาะมีจำกัด และสามารถเขียนเป็นลิสต์ได้ $P_1, P_2, dots, P_k$
• เราสร้างจำนวน $N$ โดยเอาจำนวนเฉพาะทั้งหมดในลิสต์ที่เราสมมติไว้มาคูณกันแล้วบวก 1: $N = (P_1 times P_2 times P_3 times dots times P_k) + 1$
• จากนั้นเราพิจารณา N:
• ถ้า N เป็นจำนวนเฉพาะ มันก็คือจำนวนเฉพาะตัวใหม่ที่ไม่ได้อยู่ในลิสต์ที่เราสมมติไว้
• ถ้า N เป็นจำนวนประกอบ มันจะต้องมีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ (เรียกว่า P’) แต่ตัวประกอบ P’ นั้นก็ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะตัวใดๆ ในลิสต์ที่เราสมมติไว้ได้เลย เพราะเมื่อ P’ หาร N จะเหลือเศษ 1 เสมอ ทำให้เราพบจำนวนเฉพาะตัวใหม่เช่นกัน
• ไม่ว่า N จะเป็นอะไร เราก็พบจำนวนเฉพาะตัวใหม่เสมอ ทำให้สมมติฐานเริ่มต้นของเราที่ว่า “จำนวนเฉพาะมีจำกัด” เป็นเท็จ
• ดังนั้น สิ่งที่ตรงกันข้ามกับสมมติฐานจึงเป็นจริง นั่นคือ จำนวนเฉพาะมีไม่สิ้นสุด ครับ

เป็นไงบ้างครับน้องๆ พอจะเข้าใจแนวคิดอันชาญฉลาดของยูคลิดกันแล้วใช่ไหมครับ บทพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นถึงความงามของคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้หลักการง่ายๆ มาพิสูจน์ความจริงที่ยิ่งใหญ่ได้ครับ

สำหรับน้องๆ ที่สนใจอยากจะเจาะลึกเนื้อหาคณิตศาสตร์อื่นๆ หรืออยากพัฒนาทักษะการแก้โจทย์ การทำความเข้าใจบทพิสูจน์ต่างๆ ให้แม่นยำยิ่งขึ้น พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนคณิตศาสตร์หลากหลายรูปแบบให้น้องๆ ได้เลือกกันนะครับ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สเรียนสดที่ได้มาเจอพี่กฤษณ์และเพื่อนๆ ในห้องเรียน คอร์สออนไลน์ที่สามารถเรียนได้ทุกที่ทุกเวลา หรือคอร์สตัวต่อตัวที่พี่กฤษณ์จะดูแลน้องๆ อย่างใกล้ชิดเป็นพิเศษ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ พี่กฤษณ์รับรองว่าน้องๆ จะได้ความรู้และเทคนิคดีๆ กลับไปใช้แน่นอนครับ แล้วมาเรียนด้วยกันนะครับ