ทำไม log ab เท่ากับ log a + log b พิสูจน์สมบัติของลอการิทึมจากนิยาม

ทำไม $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$ พิสูจน์สมบัติของลอการิทึมจากนิยาม

ทบทวนนิยามของลอการิทึมกันก่อนครับ

ก่อนที่เราจะไปพิสูจน์สมบัติต่างๆ ของลอการิทึมได้นั้น น้องๆ ต้องมีความเข้าใจที่แน่นแฟ้นเกี่ยวกับนิยามของมันก่อนเป็นอันดับแรกเลยครับ ลอการิทึม (Logarithm) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (Exponential function) ครับ พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าเรารู้ว่าเลขฐานตัวหนึ่งยกกำลังด้วยอะไรแล้วได้อีกตัวหนึ่ง ลอการิทึมจะช่วยบอกว่า “กำลังนั้นคืออะไร” ครับ

นิยามของลอการิทึมเขียนได้ว่า:

ถ้า $y = b^x$ แล้ว $x = log_{b} y$

โดยมีข้อแม้และเงื่อนไขสำคัญที่น้องๆ ห้ามลืมเด็ดขาดเลยนะครับ:

• $b > 0$ และ $b neq 1$ (ฐานของลอการิทึมต้องเป็นจำนวนจริงบวกและไม่เท่ากับ 1)
• $y > 0$ (ตัวเลขที่เราต้องการหาค่าลอการิทึม หรือที่เรียกว่า “อาร์กิวเมนต์” ต้องเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น)

ยกตัวอย่างง่ายๆ นะครับ

ถ้า $2^3 = 8$ ก็หมายความว่า $log_{2} 8 = 3$ ครับ

หรือถ้า $10^2 = 100$ ก็คือ $log_{10} 100 = 2$ นั่นเองครับ

จากนิยามนี้ เราจะเห็นว่ากุญแจสำคัญในการพิสูจน์สมบัติของลอการิทึมเกือบทั้งหมด คือการเปลี่ยนรูปจากลอการิทึมไปเป็นเลขชี้กำลัง และจากเลขชี้กำลังกลับมาเป็นลอการิทึมครับ

มาเริ่มพิสูจน์สมบัติ $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$ กันเลยครับ

เราต้องการพิสูจน์ว่าผลคูณของสองจำนวนในลอการิทึม สามารถแยกออกมาเป็นผลบวกของลอการิทึมของแต่ละจำนวนได้
สมมติให้เรามี $log_{b} M$ และ $log_{b} N$ โดยที่ $M > 0$, $N > 0$ และ $b > 0, b neq 1$ ครับ

ขั้นตอนที่ 1: กำหนดตัวแปรแทนค่าลอการิทึม
ให้ $x = log_{b} M$
และ $y = log_{b} N$

ขั้นตอนที่ 2: เปลี่ยนรูปจากลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลัง
จากนิยามของลอการิทึมที่เราทบทวนกันไปข้างต้น เราสามารถแปลงสมการที่กำหนดให้ในขั้นตอนที่ 1 ให้อยู่ในรูปของเลขชี้กำลังได้ดังนี้ครับ:
จาก $x = log_{b} M$ เราจะได้ $M = b^x$ (สมการที่ 1)
และจาก $y = log_{b} N$ เราจะได้ $N = b^y$ (สมการที่ 2)

ขั้นตอนที่ 3: พิจารณาผลคูณ $MN$
ตอนนี้เรามี $M$ และ $N$ ในรูปของเลขชี้กำลังแล้ว เราลองนำมาคูณกันดูครับ:
$MN = (b^x)(b^y)$
จากสมบัติของเลขชี้กำลังที่ว่า $a^m cdot a^n = a^{m+n}$ เราสามารถรวมฐาน $b$ ได้ครับ:
$MN = b^{x+y}$ (สมการที่ 3)

ขั้นตอนที่ 4: เปลี่ยนรูปกลับจากเลขชี้กำลังเป็นลอการิทึม
ตอนนี้เราได้สมการใหม่คือ $MN = b^{x+y}$ เราสามารถแปลงกลับไปเป็นรูปลอการิทึมได้อีกครั้งตามนิยามครับ:
จาก $y = b^x iff x = log_{b} y$
เราจะได้ $log_{b} (MN) = x+y$ (สมการที่ 4)

ขั้นตอนที่ 5: แทนค่า $x$ และ $y$ กลับคืน
สุดท้ายแล้ว เราก็นำค่า $x$ และ $y$ ที่เรากำหนดไว้ในขั้นตอนที่ 1 กลับไปแทนในสมการที่ 4 ครับ:
แทน $x = log_{b} M$ และ $y = log_{b} N$ ลงในสมการ $log_{b} (MN) = x+y$
เราก็จะได้สมบัติที่เราต้องการพิสูจน์แล้วครับ:
$log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$
เรียบร้อยแล้วครับ! การพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าสมบัติการบวกของลอการิทึมนั้นมีที่มาจากนิยามของลอการิทึมและสมบัติการคูณของเลขชี้กำลังอย่างเป็นขั้นตอนและสมเหตุสมผลครับ

ทำไมสมบัตินี้ถึงสำคัญ และใช้ทำอะไรได้บ้าง?

สมบัติ $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$ เป็นหนึ่งในสมบัติพื้นฐานที่สำคัญที่สุดของลอการิทึมเลยครับ เพราะมันช่วยให้เรา:

• ลดความซับซ้อนของการคำนวณ: ในอดีต ก่อนจะมีเครื่องคิดเลข การคำนวณผลคูณของจำนวนมากๆ เป็นเรื่องที่ยุ่งยากและใช้เวลานานมากครับ ลอการิทึมเข้ามาช่วยเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก ซึ่งง่ายกว่ามากในการคำนวณด้วยมือหรือโดยใช้ตารางลอการิทึม
• แก้สมการที่มีลอการิทึม: สมบัตินี้เป็นเครื่องมือสำคัญในการรวมพจน์ลอการิทึมเข้าด้วยกัน หรือแยกพจน์ออกจากกัน เพื่อให้เราสามารถแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้นครับ
• ประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม: หลายสาขาวิชามักจะเจอค่าที่มีขนาดแตกต่างกันมากๆ (ตั้งแต่เล็กจิ๋วไปจนถึงมหาศาล) การใช้สเกลลอการิทึม (Logarithmic scale) ช่วยให้เราสามารถแสดงและเปรียบเทียบค่าเหล่านี้ได้สะดวกขึ้น ยกตัวอย่างเช่น:
  • ระดับเสียง (เดซิเบล): ใช้ลอการิทึมเพื่อแสดงความดังของเสียง ซึ่งหูของมนุษย์รับรู้ในลักษณะสเกลลอการิทึม $L = 10 log_{10} (frac{I}{I_0})$
  • ค่า pH ในเคมี: ใช้เพื่อวัดความเป็นกรด-ด่างของสารละลาย ซึ่งเป็นสเกลลอการิทึม $text{pH} = -log_{10} [text{H}^+]$
  • มาตราริกเตอร์สำหรับแผ่นดินไหว: แสดงความรุนแรงของแผ่นดินไหวในสเกลลอการิทึม

  ในสเกลเหล่านี้ การเพิ่มขึ้นอย่างเป็นเชิงเส้น (linear increase) ในสเกลลอการิทึม จะหมายถึงการเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ (multiplicative increase) ในสเกลเดิม ซึ่งสมบัติการเปลี่ยนผลคูณเป็นผลบวกเข้ามามีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจและจัดการข้อมูลเหล่านี้ครับ

ตัวอย่างการนำไปใช้และความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

เพื่อให้น้องๆ เห็นภาพชัดเจนยิ่งขึ้น พี่กฤษณ์มีตัวอย่างการนำสมบัตินี้ไปใช้ และข้อผิดพลาดที่มักจะเกิดขึ้นบ่อยๆ มาฝากครับ

ตัวอย่างที่ 1: การยุบรูปของนิพจน์ลอการิทึม
จงหาค่าของ $log_2 8 + log_2 4$
วิธีทำ:
โดยตรง:
$log_2 8 = 3$ (เพราะ $2^3 = 8$)
$log_2 4 = 2$ (เพราะ $2^2 = 4$)
ดังนั้น $log_2 8 + log_2 4 = 3 + 2 = 5$
โดยใช้สมบัติ $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$:
$log_2 8 + log_2 4 = log_2 (8 times 4)$
$= log_2 32$
เนื่องจาก $2^5 = 32$ ดังนั้น $log_2 32 = 5$
ผลลัพธ์ที่ได้ตรงกันเป๊ะเลยครับ!

ตัวอย่างที่ 2: การแก้สมการลอการิทึม
จงหาค่า $x$ จากสมการ $log_3 x + log_3 (x+2) = 1$
วิธีทำ:
ก่อนอื่นต้องไม่ลืมเงื่อนไขของลอการิทึมนะครับ คือ $x > 0$ และ $x+2 > 0 Rightarrow x > -2$ สรุปคือ $x > 0$ ครับ
ใช้สมบัติรวมพจน์ลอการิทึม:
$log_3 (x(x+2)) = 1$
เปลี่ยนรูปเป็นเลขชี้กำลังตามนิยาม:
$x(x+2) = 3^1$
$x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x – 3 = 0$
แยกตัวประกอบ:
$(x+3)(x-1) = 0$
ดังนั้น $x = -3$ หรือ $x = 1$
แต่เรามีเงื่อนไขว่า $x > 0$ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ $x = 1$ ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
น้องๆ หลายคนมักจะสับสนสมบัติของลอการิทึมกับเรื่องอื่นๆ ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณบ่อยครั้งครับ สิ่งที่พี่กฤษณ์พบบ่อยๆ มีดังนี้ครับ:

• สับสนระหว่างผลบวกของลอการิทึมกับลอการิทึมของผลบวก:
  $log_{b} (M+N) neq log_{b} M + log_{b} N$
  (จำง่ายๆ ว่าลอการิทึมไม่มีสมบัติการแจกแจงการบวกนะครับ)
• สับสนระหว่างผลคูณของลอการิทึมกับลอการิทึมของผลคูณ:
  $(log_{b} M)(log_{b} N) neq log_{b} (MN)$
  (การคูณลอการิทึมสองตัว ไม่ใช่การนำอาร์กิวเมนต์มาคูณกันนะครับ)
• ลืมเงื่อนไขของอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม:
  ในตัวอย่างที่ 2 น้องๆ ต้องไม่ลืมว่า $x$ และ $x+2$ ต้องเป็นบวกเสมอ เพราะถ้าเราได้ค่า $x$ ที่ทำให้พจน์ใดพจน์หนึ่งเป็นลบหรือศูนย์ จะถือว่าเป็นคำตอบที่ใช้ไม่ได้ครับ

เทคนิคและข้อควรระวังในการทำข้อสอบ

เวลาเจอโจทย์ลอการิทึมในห้องสอบ พี่กฤษณ์มีเทคนิคและข้อควรระวังบางอย่างมาแนะนำน้องๆ ครับ:

• เริ่มจากนิยามเสมอ: ไม่ว่าจะเจอโจทย์ซับซ้อนแค่ไหน การย้อนกลับไปที่นิยามของลอการิทึมคือจุดเริ่มต้นที่ดีที่สุดเสมอครับ การแปลงไปมาระหว่างรูปเลขชี้กำลังและรูปลอการิทึมเป็นหัวใจสำคัญ
• ตรวจทานเงื่อนไข: ก่อนจะหาคำตอบสุดท้ายเสมอ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าของตัวแปรที่ได้มานั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขของลอการิทึม (อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นบวก ฐานต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1) หากไม่สอดคล้อง ต้องตัดคำตอบนั้นทิ้งไปครับ
• ฝึกทำโจทย์หลากหลาย: การฝึกฝนเป็นสิ่งสำคัญที่สุดครับ ยิ่งทำโจทย์มากเท่าไหร่ น้องๆ ก็จะยิ่งคุ้นเคยกับสมบัติและเทคนิคการแก้ปัญหามากขึ้นเท่านั้น
• ระวังเรื่องฐานของลอการิทึม: สมบัติ $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อลอการิทึมทุกพจน์มีฐานเดียวกันนะครับ ถ้าฐานต่างกันต้องเปลี่ยนฐานให้เท่ากันก่อนโดยใช้สมบัติการเปลี่ยนฐาน $log_{b} M = frac{log_{c} M}{log_{c} b}$ ก่อนครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

วันนี้เราได้พิสูจน์สมบัติสำคัญของลอการิทึม $log_{b} (MN) = log_{b} M + log_{b} N$ จากนิยามกันไปแล้วนะครับ หัวใจหลักของการพิสูจน์คือการเปลี่ยนรูปลอการิทึมให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลัง เพื่อให้เราสามารถใช้สมบัติของการคูณเลขชี้กำลังที่ฐานเท่ากัน $b^x cdot b^y = b^{x+y}$ ได้อย่างมีประสิทธิภาพครับ เมื่อเข้าใจที่มาที่ไปอย่างถ่องแท้แล้ว น้องๆ ก็จะสามารถนำสมบัตินี้ไปใช้ในการแก้โจทย์ได้อย่างมั่นใจและไม่ผิดพลาดครับ การรู้ว่า “ทำไม” บางครั้งสำคัญกว่าการรู้แค่ “อะไร” เสมอครับในวิชาคณิตศาสตร์

หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับน้องๆ ในการทำความเข้าใจเรื่องลอการิทึมมากขึ้นนะครับ ถ้าหากน้องๆ อยากเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ไม่ว่าจะเป็นเรื่องลอการิทึม เลขยกกำลัง หรือหัวข้ออื่นๆ พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนหลากหลายรูปแบบคอยให้บริการเลยครับ ทั้งคอร์สสดที่ได้เจอพี่กฤษณ์ตัวเป็นๆ คอร์สออนไลน์ที่น้องๆ สามารถทบทวนบทเรียนได้ตามสะดวก และคอร์สตัวต่อตัวที่สามารถปรับการสอนให้เข้ากับความต้องการของน้องๆ ได้อย่างเต็มที่เลยครับ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ