อสมการ AM มากกว่าหรือเท่ากับ GM พิสูจน์อย่างไร พร้อมตัวอย่างโจทย์แข่งขัน

อสมการ AM-GM คืออะไร ทำไมต้องเรียนรู้

อสมการ AM-GM หรือที่เรียกกันเต็มๆ ว่า Arithmetic Mean – Geometric Mean Inequality เป็นเครื่องมือทรงพลังในการหาค่าสูงสุด ต่ำสุด หรือพิสูจน์ความสัมพันธ์ต่างๆ ในทางคณิตศาสตร์ครับ อสมการนี้ระบุว่า สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใดๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean หรือ AM) จะมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean หรือ GM) เสมอครับ

มาทำความเข้าใจค่าเฉลี่ยกันก่อนครับ

ก่อนที่เราจะไปพิสูจน์และดูตัวอย่างโจทย์ พี่กฤษณ์อยากให้น้องๆ ทบทวนความหมายของค่าเฉลี่ยทั้งสองแบบนี้กันก่อนครับ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean – AM): คือผลรวมของข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูลนั่นเองครับ ถ้าน้องๆ มีข้อมูล
$a_1, a_2, ldots, a_n$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ
$frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n}$
ครับ
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean – GM): คือรากที่
$n$
ของผลคูณของข้อมูลทั้งหมดครับ สำหรับข้อมูล
$a_1, a_2, ldots, a_n$
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตก็คือ
$sqrt[n]{a_1 a_2 ldots a_n}$
ครับ

อสมการ AM-GM

สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ
$a_1, a_2, ldots, a_n$
เราจะได้ว่า

$frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 a_2 ldots a_n}$

และอสมการจะเป็นสมการ (คือ AM เท่ากับ GM) ก็ต่อเมื่อ
$a_1 = a_2 = ldots = a_n$
นั่นเองครับ

พิสูจน์อสมการ AM-GM (กรณี n = 2)

สำหรับน้องๆ ที่เพิ่งเริ่มต้น พี่กฤษณ์จะขอพิสูจน์กรณีที่ง่ายที่สุดก่อน นั่นคือสำหรับจำนวนจริงบวก 2 จำนวน
$a$
และ
$b$
ครับ

เราต้องการพิสูจน์ว่า
$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$
โดยที่
$a geq 0$
และ
$b geq 0$
ครับ

การพิสูจน์:

เรารู้ว่ากำลังสองของจำนวนจริงใดๆ ย่อมมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอครับ นั่นคือ
$(x-y)^2 geq 0$
ครับ
กระจายพจน์ออกมาจะได้
$x^2 – 2xy + y^2 geq 0$
ครับ
ย้ายพจน์
$-2xy$
ไปอีกฝั่งหนึ่ง จะได้
$x^2 + y^2 geq 2xy$
ครับ
ทีนี้ให้เรากำหนดให้
$x = sqrt{a}$
และ
$y = sqrt{b}$
(ทำได้เพราะ
$a, b geq 0$
) แทนค่ากลับเข้าไปในอสมการข้อ 3 ครับ
เราจะได้
$(sqrt{a})^2 + (sqrt{b})^2 geq 2(sqrt{a})(sqrt{b})$
ครับ
ซึ่งก็คือ
$a + b geq 2sqrt{ab}$
ครับ
สุดท้าย หารทั้งสองข้างด้วย 2 ก็จะได้อสมการ AM-GM ที่เราต้องการพิสูจน์แล้วครับ
$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$

เงื่อนไขของการเป็นสมการ (คือ AM = GM) จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ
$(x-y)^2 = 0$
นั่นคือ
$x=y$
หรือ
$sqrt{a} = sqrt{b}$
ซึ่งก็คือ
$a=b$
นั่นเองครับ

สำหรับการพิสูจน์กรณีทั่วไปสำหรับ
$n$
จำนวนนั้น จะใช้เทคนิคการพิสูจน์ที่ซับซ้อนขึ้น เช่น โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบโคชี (Cauchy’s Induction) หรือการใช้ฟังก์ชันนูน (Convex Functions) ครับ ซึ่งจะเกินขอบเขตของบทความนี้ไปเล็กน้อยครับ

การนำ AM-GM ไปใช้แก้โจทย์แข่งขัน

อสมการ AM-GM มักจะถูกนำมาใช้ในโจทย์ที่ต้องการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ครับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีพจน์บวกกันอยู่และพจน์เหล่านั้นมีส่วนกลับของกันและกัน หรือสามารถจัดรูปให้เป็นส่วนกลับของกันและกันได้ครับ

ข้อควรจำและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เงื่อนไขจำนวนไม่เป็นลบ: น้องๆ ต้องจำให้ขึ้นใจเลยว่า อสมการ AM-GM ใช้ได้กับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเท่านั้นครับ หากมีจำนวนติดลบอยู่ ต้องระวังให้ดีเลยครับ
เงื่อนไขของการเป็นสมการ: การหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดย AM-GM ต้องตรวจสอบว่าสามารถเกิดกรณีที่พจน์ทุกตัวเท่ากันได้จริงหรือไม่ครับ ถ้าไม่สามารถเท่ากันได้จริง ค่าที่หาได้อาจจะไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่แท้จริงครับ
การจัดรูปพจน์: บางครั้งโจทย์ไม่ได้มาในรูปที่ใช้ AM-GM ได้ทันที น้องๆ อาจจะต้องใช้เทคนิคการจัดรูป เช่น การบวกเข้า-ลบออก การคูณ-หาร หรือการแยกพจน์ เพื่อให้เกิดพจน์ที่สามารถนำมาใช้ AM-GM ได้ และมักจะมีการจับคู่พจน์ที่เมื่อคูณกันแล้วจะตัดกันเหลือค่าคงที่ครับ

ตัวอย่างโจทย์แข่งขัน

ตัวอย่างที่ 1: การหาค่าต่ำสุด

จงหาค่าต่ำสุดของนิพจน์
$x + frac{4}{x}$
สำหรับ
$x > 0$
ครับ

วิธีทำ:

สังเกตว่า
$x$
และ
$frac{4}{x}$
เป็นจำนวนบวก เพราะ
$x > 0$
ครับ ดังนั้นเราสามารถใช้อสมการ AM-GM ได้ครับ
กำหนดให้
$a = x$
และ
$b = frac{4}{x}$
ครับ
จากอสมการ AM-GM สำหรับ 2 จำนวน
$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$
เราจะได้ว่า
$frac{x + frac{4}{x}}{2} geq sqrt{x cdot frac{4}{x}}$
ครับ
คำนวณด้านขวา:
$sqrt{x cdot frac{4}{x}} = sqrt{4} = 2$
ครับ
ดังนั้น
$frac{x + frac{4}{x}}{2} geq 2$
ครับ
คูณ 2 ทั้งสองข้าง จะได้
$x + frac{4}{x} geq 4$
ครับ
ค่าต่ำสุดของนิพจน์คือ 4 ครับ และค่าต่ำสุดนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ
$x = frac{4}{x}$
นั่นคือ
$x^2 = 4$
และเนื่องจาก
$x > 0$
ดังนั้น
$x=2$
ครับ ซึ่งเป็นไปได้จริง

ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์คือ 4 ครับ

ตัวอย่างที่ 2: การจัดรูปเพื่อใช้ AM-GM

ถ้า
$x > 1$
จงหาค่าต่ำสุดของนิพจน์
$x + frac{1}{x-1}$
ครับ

วิธีทำ:

ในกรณีนี้ ถ้าเราใช้ AM-GM กับ
$x$
และ
$frac{1}{x-1}$
โดยตรง ผลคูณ
$x cdot frac{1}{x-1} = frac{x}{x-1}$
จะยังคงมีตัวแปร
$x$
อยู่ ซึ่งทำให้เราไม่สามารถหาค่าต่ำสุดที่เป็นค่าคงที่ได้ครับ
เราจึงต้องจัดรูปนิพจน์นี้ใหม่ โดยการบวกเข้าและลบออกด้วย 1 เพื่อให้พจน์แรกมี
$x-1$
ซึ่งจะสามารถตัดกับตัวส่วนของพจน์หลังได้ครับ
$x + frac{1}{x-1} = (x-1) + 1 + frac{1}{x-1}$
ครับ
ตอนนี้เรามีสองพจน์คือ
$(x-1)$
และ
$frac{1}{x-1}$
ซึ่งเป็นจำนวนบวกทั้งคู่ เพราะ
$x > 1$
ครับ เราสามารถใช้อสมการ AM-GM กับสองพจน์นี้ได้ครับ
$frac{(x-1) + frac{1}{x-1}}{2} geq sqrt{(x-1) cdot frac{1}{x-1}}$
ครับ
คำนวณด้านขวา:
$sqrt{(x-1) cdot frac{1}{x-1}} = sqrt{1} = 1$
ครับ
ดังนั้น
$frac{(x-1) + frac{1}{x-1}}{2} geq 1$
ครับ
คูณ 2 ทั้งสองข้าง จะได้
$(x-1) + frac{1}{x-1} geq 2$
ครับ
สุดท้าย นำ 1 ที่เราบวกเพิ่มไปในตอนแรก กลับไปบวกทั้งสองข้างของอสมการนี้ครับ
$(x-1) + frac{1}{x-1} + 1 geq 2 + 1$
ซึ่งก็คือ
$x + frac{1}{x-1} geq 3$
ครับ
ค่าต่ำสุดของนิพจน์คือ 3 ครับ และค่าต่ำสุดนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ
$(x-1) = frac{1}{x-1}$
ครับ นั่นคือ
$(x-1)^2 = 1$
จะได้
$x-1 = 1$
(เพราะ
$x > 1$
ทำให้
$x-1 > 0$
) ดังนั้น
$x=2$
ครับ ซึ่งเป็นไปได้จริง

ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์คือ 3 ครับ

สรุปแนวคิดสำคัญของ AM-GM

อสมการ AM-GM เป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมในการหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของนิพจน์ครับ หัวใจสำคัญคือการจำเงื่อนไขว่าต้องใช้กับจำนวนที่ไม่เป็นลบ และการจัดรูปพจน์ให้เหมาะสม โดยเฉพาะการทำให้ผลคูณของพจน์กลายเป็นค่าคงที่ เพื่อให้สามารถหาขอบเขตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ครับ การตรวจสอบเงื่อนไขที่เกิดสมการ (พจน์ทุกตัวเท่ากัน) ก็สำคัญไม่แพ้กัน เพื่อยืนยันว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่ได้นั้นสามารถเกิดขึ้นได้จริงครับ

หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจแนวคิดและการพิสูจน์อสมการ AM-GM รวมถึงนำไปประยุกต์ใช้กับโจทย์ได้ดียิ่งขึ้นนะครับ การฝึกฝนทำโจทย์บ่อยๆ จะทำให้น้องๆ เกิดความชำนาญและมองเห็นลู่ทางในการใช้ AM-GM ได้อย่างรวดเร็วครับ

ถ้าน้องๆ สนใจอยากเรียนรู้เทคนิคการทำโจทย์อสมการและคณิตศาสตร์อื่นๆ เพิ่มเติมอย่างละเอียดกับพี่กฤษณ์ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สสด คอร์สออนไลน์ หรือคอร์สตัวต่อตัว สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมและสมัครได้ในเว็บไซต์นี้เลยนะครับ พี่กฤษณ์พร้อมจะช่วยให้น้องๆ เข้าใจคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้นและทำคะแนนได้ดีขึ้นแน่นอนครับ