สมบัติการหารลงตัว

ทำความรู้จัก “การหารลงตัว” กันก่อนครับ

การหารลงตัว คือ การที่จำนวนเต็มจำนวนหนึ่งถูกหารด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่มีเศษเหลือเลยครับ

เรามาดูความหมายทางคณิตศาสตร์กันบ้าง เราใช้สัญลักษณ์ $a\mid b$ เพื่อบ่งบอกว่า $a$ หาร $b$ ลงตัว

ในทางคณิตศาสตร์แล้ว หาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $a\ne 0$ เราจะกล่าวว่า $a$ หาร $b$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ ที่ทำให้ $b=ak$ ครับ

ตัวอย่างเช่น $3\mid 12$ เพราะว่า $12=3\times 4$ ซึ่ง $4$ เป็นจำนวนเต็มครับ

แต่ถ้า $3$ หาร $10$ จะไม่ลงตัว เพราะ $10=3\times 3+1$ มีเศษเหลือเป็น $1$ นั่นเองครับ

สมบัติพื้นฐานของการหารลงตัว

การหารลงตัวมีสมบัติพื้นฐานหลายอย่างที่น้องๆ ควรทราบไว้ครับ

1. สมบัติการสะท้อนกลับ (Reflexive Property): จำนวนเต็ม $a$ ทุกตัว (ยกเว้น $a=0$) ย่อมหารตัวเองลงตัวเสมอ นั่นคือ $a\mid a$ ครับ (เพราะ $a=a\times 1$)
2. สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property): ถ้า $a$ หาร $b$ ลงตัว และ $b$ หาร $c$ ลงตัวแล้ว $a$ ย่อมหาร $c$ ลงตัวด้วยครับ

   เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า: ถ้า $a\mid b$ และ $b\mid c$ แล้ว $a\mid c$

   ตัวอย่าง: $2\mid 6$ และ $6\mid 18$ เราจะเห็นว่า $2\mid 18$ จริงครับ

3. สมบัติการรวมเชิงเส้น (Linear Combination Property): ถ้า $a$ หาร $b$ ลงตัว และ $a$ หาร $c$ ลงตัวแล้ว $a$ จะหารผลรวมหรือผลต่างเชิงเส้นของ $b$ และ $c$ ลงตัวเสมอครับ

   เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า: ถ้า $a\mid b$ และ $a\mid c$ แล้ว $a\mid (xb+yc)$ สำหรับจำนวนเต็ม $x,y$ ใดๆ

   ตัวอย่าง: $3\mid 6$ และ $3\mid 9$ ดังนั้น $3$ จะหาร $(2\times 6+1\times 9)=(12+9)=21$ ลงตัว ซึ่งก็จริงครับ

4. การหารลงตัวของผลคูณ: ถ้า $a$ หาร $b$ ลงตัวแล้ว $a$ จะหารผลคูณของ $b$ กับจำนวนเต็มใดๆ ลงตัว

   เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า: ถ้า $a\mid b$ แล้ว $a\mid \left(bc\right)$ สำหรับจำนวนเต็ม $c$ ใดๆ

5. การหาร $0$ ลงตัว: จำนวนเต็ม $a$ ทุกตัว (ยกเว้น $a=0$) ย่อมหาร $0$ ลงตัวเสมอ นั่นคือ $a\mid 0$ ครับ (เพราะ $0=a\times 0$)

กฏการหารลงตัวที่ควรรู้

หัวใจสำคัญของการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหารลงตัวคือ “กฏการหารลงตัว” ครับ ซึ่งช่วยให้เราตรวจสอบได้ว่าจำนวนใดหารจำนวนหนึ่งลงตัวหรือไม่ โดยไม่ต้องทำการหารจริงๆ ให้เสียเวลา มาดูกันเลยครับ

• หารด้วย $2$ ลงตัว: จำนวนนั้นต้องเป็นเลขคู่ หรือมีหลักหน่วยเป็น $0,2,4,6,8$ ครับ
  ตัวอย่าง: $548$ หารด้วย $2$ ลงตัว เพราะหลักหน่วยเป็น $8$ ครับ
• หารด้วย $3$ ลงตัว: ผลรวมของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนั้นต้องหารด้วย $3$ ลงตัวครับ
  ตัวอย่าง: $732$ ผลรวมเลขโดดคือ $7+3+2=12$ ซึ่ง $12$ หารด้วย $3$ ลงตัว ดังนั้น $732$ หารด้วย $3$ ลงตัวครับ
• หารด้วย $4$ ลงตัว: จำนวนที่ประกอบขึ้นจากสองหลักสุดท้ายของจำนวนนั้นต้องหารด้วย $4$ ลงตัวครับ
  ตัวอย่าง: $1236$ สองหลักสุดท้ายคือ $36$ ซึ่ง $36$ หารด้วย $4$ ลงตัว ดังนั้น $1236$ หารด้วย $4$ ลงตัวครับ
• หารด้วย $5$ ลงตัว: หลักหน่วยของจำนวนนั้นต้องเป็น $0$ หรือ $5$ ครับ
  ตัวอย่าง: $875$ หารด้วย $5$ ลงตัว เพราะหลักหน่วยเป็น $5$ ครับ
• หารด้วย $6$ ลงตัว: จำนวนนั้นต้องหารด้วย $2$ ลงตัว และหารด้วย $3$ ลงตัว พร้อมกันครับ
  ตัวอย่าง: $732:$ หลักหน่วยเป็น $2$ (หาร $2$ ลงตัว) และผลรวมเลขโดดคือ $12$ (หาร $3$ ลงตัว) ดังนั้น $732$ หารด้วย $6$ ลงตัวครับ
• หารด้วย $8:$ ลงตัว: จำนวนที่ประกอบขึ้นจากสามหลักสุดท้ายของจำนวนนั้นต้องหารด้วย $8ลงตัว$ ครับ
  ตัวอย่าง: $51280:$ สามหลักสุดท้ายคือ $280.$ $280÷8=35.$ ดังนั้น $51280หารด้วย$ 8ลงตัว$ครับ$
• หารด้วย $9:\; ลงตัว$ ผลรวมของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนั้นต้องหารด้วย $9ลงตัว$ ครับ
  ตัวอย่าง: $1539:$ ผลรวมเลขโดดคือ $1+5+3+9=18.$ ซึ่ง $18หารด้วย$ 9ลงตัว$ดังนั้น$ 1539หารด้วย$ 9ลงตัว$ครับ$$
• หารด้วย $10:\; ลงตัว$ หลักหน่วยของจำนวนนั้นต้องเป็น $0.$ ครับ
  ตัวอย่าง: $2050หารด้วย$ 10ลงตัว$เพราะหลักหน่วยเป็น$ 0.$ครับ$
• หารด้วย $11:\; ลงตัว$ ผลต่างของผลรวมของเลขโดดในตำแหน่งคี่และผลรวมของเลขโดดในตำแหน่งคู่ ต้องเป็น $0หารด้วย$ 11ลงตัว$(รวมถึงจำนวนเต็มลบที่หารด้วย$ 11ลงตัว$)\; ครับ$
  ตัวอย่าง: $121:$ ตำแหน่งคี่ $1+1=2.$ ตำแหน่งคู่ $2.$ ผลต่าง $2-2=0.$ ซึ่ง $0หารด้วย$ 11ลงตัว$ดังนั้น$ 121หารด้วย$ 11ลงตัว$ครับ$$
  อีกตัวอย่าง: $2354:$ (ตำแหน่งคี่: $4+3=7.$ ตำแหน่งคู่: $5+2=7.$) ผลต่าง $7-7=0.$ หารด้วย $11ลงตัว$ ครับ
• หารด้วย $12:\; ลงตัว$ จำนวนนั้นต้องหารด้วย $3ลงตัว$ และหารด้วย $4ลงตัว$ พร้อมกันครับ (เนื่องจาก $3และ$ 4เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์)$$
  ตัวอย่าง: $648:$ ผลรวมเลขโดด $6+4+8=18.$ หารด้วย $3ลงตัว$ สองหลักสุดท้ายคือ $48.$ หารด้วย $4ลงตัว$ ดังนั้น $648หารด้วย$ 12ลงตัว$ครับ$

การประยุกต์ใช้สมบัติการหารลงตัวในการแก้ปัญหา

กฏการหารลงตัวไม่ได้มีไว้แค่ตรวจสอบเท่านั้นนะครับ แต่ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนได้หลายรูปแบบเลย

ตัวอย่างที่ 1: หาเลขโดดที่ไม่ทราบค่า

ถ้าจำนวน $4A56หารด้วย$ 3ลงตัว$จงหาค่าของ$ A.$$

วิธีทำ: จากกฏการหารด้วย $3ลงตัว$ ผลรวมของเลขโดดต้องหารด้วย $3ลงตัว$ ครับ

ผลรวมเลขโดดคือ $4+A+5+6=15+A.$

เราต้องการให้ $15+Aหารด้วย$ 3ลงตัว$และ$ Aเป็นเลขโดด$(ตั้งแต่$ 0ถึง$ 9)$$$

เนื่องจาก $15หารด้วย$ 3ลงตัวอยู่แล้ว$ดังนั้น$ Aจะต้องหารด้วย$$ 3ลงตัวด้วย$ครับ$

ค่าของ $Aที่ทำ$ให้ $Aหารด้วย$ 3ลงตัว$ได้แก่$ 0,3,6,9.$$
ดังนั้น ค่าของ $Aที่สามารถเป็นไปได้คือ$ $0,3,6,9.$ ครับ

ตัวอย่างที่ 2: โจทย์ประยุกต์หลายเงื่อนไข

จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $1000ซึ่งหารด้วย$ $2,3และ$ 5ลงตัว$$

วิธีทำ: การที่จำนวนหนึ่งหารด้วย $2,3และ$ 5ลงตัว$หมายความว่าจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย\; ค.ร.น.\; ของ$ 2,3และ$ 5ลงตัว$$$

หา ค.ร.น. ของ $2,3,5:$ เนื่องจากทั้งสามเป็นจำนวนเฉพาะ ค.ร.น. จึงเท่ากับผลคูณของทั้งสามจำนวน

$\text{ค.ร.น.}(2,3,5)=2\times 3\times 5=30$

เราต้องการหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $1000และหารด้วย$ $30ลงตัว$

นำ $1000มาหารด้วย$ $30:$

$1000÷30=33\text{เศษ}10$

นั่นหมายความว่า $1000=30\times 33+10$ ครับ

จำนวนที่หารด้วย $30ลงตัว$ ที่ใกล้ $1000ที่สุดคือ$ $30\times 33=990.$

แต่เราต้องการจำนวนที่มากกว่า $1000.$ ดังนั้นจำนวนถัดไปที่หารด้วย $30ลงตัว$ คือ $30\times 34=1020.$

ดังนั้น จำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $1000และหารด้วย$ $2,3และ$ 5ลงตัว$คือ$ 1020.$ครับ$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้สมบัติการหารลงตัว

ถึงแม้สมบัติการหารลงตัวจะช่วยให้การแก้โจทย์ง่ายขึ้น แต่น้องๆ ก็อาจจะเจอข้อผิดพลาดเหล่านี้ได้บ่อยๆ ครับ

• สับสนระหว่างจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Coprime) กับจำนวนประกอบ: น้องๆ มักจะจำกฏผิดว่า ถ้า $Nหารด้วย$ $aลงตัว$ และหารด้วย $bลงตัว$ แล้ว $Nจะหารด้วย$ $abลงตัวเสมอ$ ซึ่งไม่จริงนะครับ กฏนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $aและ$ bเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเท่านั้น$(หรือ\; ห.ร.ม.\; ของ$ aและ$ bเท่ากับ$$ 1)$$$
  ตัวอย่างเช่น $12หารด้วย$ $2ลงตัว$ และหารด้วย $4ลงตัว$ แต่ $12ไม่ได้หารด้วย$ $2\times 4=8ลงตัว$ ครับ เพราะ $2และ$ 4ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน$(ห.ร.ม.\; ของ$ 2และ$ 4คือ$$ 2)$$$
• ลืมตรวจสอบเงื่อนไขทั้งหมด: บางกฏการหารลงตัว เช่น การหารด้วย $6หรือ$ $12.$ ต้องตรวจสอบมากกว่าหนึ่งเงื่อนไขพร้อมกัน น้องๆ มักจะพลาดตรวจสอบไม่ครบ ทำให้ได้คำตอบที่ผิดพลาดไปครับ
• ประมาทกับจำนวนน้อยๆ หรือเลข $0:$ บางครั้งโจทย์ที่เกี่ยวข้องกับเลขโดดเพียงหลักเดียว หรือมีการหารด้วย $0.$ น้องๆ อาจจะละเลยเงื่อนไขพื้นฐานไป ตัวอย่างเช่น การหารด้วย