การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์และการแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน

ก่อนอื่นเลย เรามาทำความเข้าใจกับ “ค่าสัมบูรณ์” กันก่อนนะครับ ค่าสัมบูรณ์ หรือ Absolute Value ของจำนวนจริงใดๆ ก็คือ ระยะห่างของจำนวนนั้นจากจุดกำเนิด (เลข 0) บนเส้นจำนวนจริง นั่นเองครับ ซึ่งระยะห่างเนี่ย จะเป็นค่าบวกเสมอ ไม่มีทางติดลบเด็ดขาดครับ

นิยามของค่าสัมบูรณ์เขียนได้ว่า
$| x | = x เมื่อ x \geq 0$
$| x | = - x เมื่อ x < 0$
ตัวอย่างเช่น $| 5 | = 5$ และ $| - 5 | = - (- 5) = 5$ จะเห็นว่าไม่ว่าจะบวกหรือลบ ค่าสัมบูรณ์ก็คือระยะห่างที่เป็นบวกนั่นเองครับ

หลักการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์พื้นฐาน

สำหรับการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์นั้น เรามีหลักการพื้นฐานที่สำคัญอยู่ 2 รูปแบบหลักๆ ที่น้องๆ ต้องจำให้ขึ้นใจเลยครับ

1. รูปแบบ $| x | < a$ (หรือ $| x | \leq a$ )
ถ้าน้องๆ เจออสมการในรูปแบบนี้ ความหมายคือ ระยะห่างจากศูนย์ของ $x$ ต้องน้อยกว่า $a$ หน่วย ครับ ถ้ามองบนเส้นจำนวน หมายความว่า $x$ ต้องอยู่ระหว่าง $- a$ กับ $a$
เงื่อนไขสำคัญคือ $a$ ต้องเป็นจำนวนบวก (มากกว่า 0) เท่านั้นนะครับ!
ถ้า $a > 0$ แล้ว $| x | < a$ จะสมมูลกับ $- a < x < a$
ถ้า $a \leq 0$ แล้ว
ถ้า $a < 0$ จะไม่มีจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้อง (เพราะค่าสัมบูรณ์เป็นบวกเสมอ จะน้อยกว่าจำนวนลบไม่ได้) เซตคำตอบคือ $emptyset$
ถ้า $a = 0$ จะมีเพียง $x = 0$ ที่สอดคล้อง $| x | \leq 0$

2. รูปแบบ $| x | > a$ (หรือ $| x | \geq a$ )
ถ้าน้องๆ เจออสมการในรูปแบบนี้ ความหมายคือ ระยะห่างจากศูนย์ของ $x$ ต้องมากกว่า $a$ หน่วย ครับ ถ้ามองบนเส้นจำนวน หมายความว่า $x$ ต้องอยู่นอกช่วง $- a$ ถึง $a$
ถ้า $a > 0$ แล้ว $| x | > a$ จะสมมูลกับ $x < - a หรือ x > a$
ถ้า $a \leq 0$ แล้ว
ถ้า $a < 0$ จะเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ (เพราะค่าสัมบูรณ์เป็นบวกเสมอ ย่อมมากกว่าจำนวนลบเสมอ) เซตคำตอบคือ $(-infty, infty)$
ถ้า $a = 0$ จะเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ยกเว้น $x = 0$ เซตคำตอบคือ $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ตัวอย่างการแก้อสมการและการแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน

มาลองดูตัวอย่างกันเลยนะครับ จะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น

ตัวอย่างที่ 1: จงแก้อสมการ $| 2 x - 3 | < 5$ และแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน

วิธีทำ:
อสมการนี้อยู่ในรูปแบบ $| A | < a$ โดยที่ $A = 2 x - 3$ และ $a = 5$ ซึ่ง $a > 0$
ดังนั้น เราสามารถเปลี่ยนอสมการนี้ให้อยู่ในรูป
$- 5 < 2 x - 3 < 5$
จากนั้น ให้เราแยกคิดเป็นสองข้าง หรือทำไปพร้อมกันเลยก็ได้ครับ พี่กฤษณ์แนะนำให้ทำไปพร้อมกันจะได้ไม่สับสน
บวก 3 ตลอดอสมการ:
$- 5 + 3 < 2 x - 3 + 3 < 5 + 3$
$- 2 < 2 x < 8$
หารด้วย 2 ตลอดอสมการ:
$\frac{- 2}{2} < \frac{2 x}{2} < \frac{8}{2}$
$- 1 < x < 4$
เซตคำตอบคือ $(-1, 4)$

การแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน:
เราจะลากเส้นจำนวนขึ้นมา แล้วทำเครื่องหมายที่ตำแหน่ง $- 1$ และ $4$ เนื่องจากเป็นอสมการแบบน้อยกว่า ( $<$ ) เราจะใช้ วงกลมโปร่ง ที่ตำแหน่ง $- 1$ และ $4$ เพื่อแสดงว่าค่าเหล่านี้ไม่รวมอยู่ในคำตอบ จากนั้นแรเงาช่วงระหว่าง $- 1$ ถึง $4$ ครับ

(จินตนาการภาพ: เส้นจำนวนมีจุดโปร่งที่ -1 และ 4 และแรเงาช่วงระหว่างนั้น)

ตัวอย่างที่ 2: จงแก้อสมการ $| 5 - x | \geq 2$ และแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน

วิธีทำ:
อสมการนี้อยู่ในรูปแบบ $| A | \geq a$ โดยที่ $A = 5 - x$ และ $a = 2$ ซึ่ง $a > 0$
ดังนั้น เราสามารถเปลี่ยนอสมการนี้ให้อยู่ในรูป
$5 - x \leq - 2 หรือ 5 - x \geq 2$

คิดทีละส่วนนะครับ:
ส่วนที่ 1: $5 - x \leq - 2$
$- x \leq - 2 - 5$
$- x \leq - 7$
คูณด้วย $- 1$ ตลอดอสมการ (อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการ!)
$x \geq 7$

ส่วนที่ 2: $5 - x \geq 2$
$- x \geq 2 - 5$
$- x \geq - 3$
คูณด้วย $- 1$ ตลอดอสมการ (อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการ!)
$x \leq 3$

ดังนั้น เซตคำตอบคือ $x \leq 3 หรือ x \geq 7$
หรือเขียนเป็นช่วงได้คือ $(- \infty, 3] \cup [7, \infty)$

การแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน:
เราจะลากเส้นจำนวนขึ้นมา แล้วทำเครื่องหมายที่ตำแหน่ง $3$ และ $7$ เนื่องจากเป็นอสมการแบบมากกว่าหรือเท่ากับ ( $ge$ ) เราจะใช้ วงกลมทึบ ที่ตำแหน่ง $3$ และ $7$ เพื่อแสดงว่าค่าเหล่านี้รวมอยู่ในคำตอบ จากนั้นแรเงาช่วงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $3$ (ไปทางซ้าย) และช่วงที่มากกว่าหรือเท่ากับ $7$ (ไปทางขวา) ครับ

(จินตนาการภาพ: เส้นจำนวนมีจุดทึบที่ 3 และ 7 แรเงาจาก 3 ไปทางซ้าย และจาก 7 ไปทางขวา)

กรณีพิเศษและข้อควรระวัง

บางครั้งโจทย์อาจจะมีรูปแบบที่ซับซ้อนขึ้น หรือมีค่า $a$ เป็นศูนย์หรือจำนวนลบ ซึ่งเราได้กล่าวถึงไปบ้างแล้ว แต่มาเน้นย้ำอีกทีครับ

เมื่อ $a$ เป็นจำนวนลบ:

ถ้าอสมการเป็น $| x | < - 3$ (ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจำนวนลบ) คำตอบคือ เซตว่าง $emptyset$ เพราะค่าสัมบูรณ์ไม่มีทางเป็นจำนวนลบได้ และไม่มีทางน้อยกว่าจำนวนลบครับ

แต่ถ้าอสมการเป็น $| x | > - 3$ (ค่าสัมบูรณ์มากกว่าจำนวนลบ) คำตอบคือ จำนวนจริงทุกตัว $(-infty, infty)$ เพราะค่าสัมบูรณ์เป็นบวกหรือศูนย์เสมอ ซึ่งย่อมมากกว่าจำนวนลบอยู่แล้วครับ
เมื่อมีค่าสัมบูรณ์สองข้าง: เช่น $| x - 1 | < | 2 x + 3 |$

ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ครับ

${(| x - 1 |)}^{2} < {(| 2 x + 3 |)}^{2}$
ซึ่งสมมูลกับ ${(x - 1)}^{2} < {(2 x + 3)}^{2}$
จากนั้นก็ย้ายข้างทั้งหมดมาไว้ฝั่งเดียวกัน แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ เพื่อแยกตัวประกอบและหาคำตอบครับ วิธีนี้จะช่วยให้น้องๆ ไม่ต้องแบ่งกรณีเยอะแยะให้วุ่นวายครับ
เมื่อมีค่าสัมบูรณ์หลายพจน์: เช่น $| x - 1 | + | x + 2 | < 5$

กรณีนี้เราจำเป็นต้อง แบ่งช่วง ในการพิจารณาตามจุดวิกฤตที่ทำให้พจน์ในค่าสัมบูรณ์เป็นศูนย์ครับ สำหรับตัวอย่างนี้ จุดวิกฤตคือ $x = 1$ และ $x = - 2$ เราก็จะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็น 3 ช่วงคือ $(-infty, -2)$ , $[-2, 1)$ และ $[1, infty)$ ครับ แล้วแก้สมการในแต่ละช่วง เมื่อได้คำตอบในแต่ละช่วงแล้ว ให้นำคำตอบมารวมกัน (Union) ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

น้องๆ มักจะพลาดในจุดเหล่านี้ครับ:

ลืมตรวจสอบเงื่อนไขของ $a$ : ก่อนจะใช้สูตร $- a < x < a$ หรือ $x < - a หรือ x > a$ ต้องแน่ใจว่า $a$ เป็นจำนวนบวกเท่านั้นนะครับ! ถ้า $a \leq 0$ จะต้องพิจารณาเป็นกรณีพิเศษตามที่พี่กฤษณ์ได้อธิบายไปครับ
การคูณหรือหารด้วยจำนวนลบแล้วไม่กลับเครื่องหมายอสมการ: นี่เป็นข้อผิดพลาดคลาสสิกที่เจอบ่อยที่สุดเลยครับ
การแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนผิด: สับสนระหว่างวงกลมโปร่ง (ไม่รวมจุดนั้น) กับวงกลมทึบ (รวมจุดนั้น) และการแรเงาผิดทิศทาง (เช่น สลับช่วง $< a$ กับ $> a$ )
การรวมคำตอบสำหรับกรณีแบ่งช่วง: เมื่อแก้ปัญหาโดยการแบ่งช่วง อย่าลืมนำคำตอบที่ได้จากแต่ละช่วงมา Union (รวมกัน) ไม่ใช่ Intersect (ซ้ำกัน) นะครับ

เทคนิคทำข้อสอบ

เวลาเจอโจทย์อสมการค่าสัมบูรณ์ในข้อสอบ ลองดูว่ารูปแบบของอสมการตรงกับกรณีพื้นฐาน 2 แบบแรกหรือไม่ ถ้าใช่ ก็ใช้สูตรได้เลยครับ แต่ถ้ามีค่าสัมบูรณ์สองข้าง ให้ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะง่ายที่สุด ส่วนกรณีที่มีหลายพจน์ในค่าสัมบูรณ์ อันนั้นต้องใช้การแบ่งช่วงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ครับ ฝึกฝนทำโจทย์ให้หลากหลาย จะทำให้น้องๆ คุ้นเคยกับแต่ละเทคนิค และเลือกใช้ได้ถูกต้องครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

หัวใจของการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์คือ:

เข้าใจความหมายของค่าสัมบูรณ์ว่าเป็นระยะห่างจากศูนย์
จำหลักการพื้นฐาน 2 รูปแบบ $| x | < a$ (คำตอบอยู่ตรงกลาง) และ $| x | > a$ (คำตอบอยู่ด้านนอก)
พิจารณากรณีที่ $a \leq 0$ ให้รอบคอบ
เมื่อมีค่าสัมบูรณ์สองข้าง ใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้าง
เมื่อมีหลายพจน์ในค่าสัมบูรณ์ ใช้วิธีแบ่งช่วงพิจารณา
แสดงคำตอบบนเส้นจำนวนให้ถูกต้อง โดยพิจารณาเครื่องหมายอสมการว่าจะใช้วงกลมโปร่งหรือทึบ

พี่กฤษณ์หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้องๆ มีความเข้าใจเรื่องการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์มากขึ้นนะครับ เรื่องนี้เป็นพื้นฐานที่สำคัญมากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าเราแน่นเรื่องนี้แล้ว การเรียนในบทเรียนที่ซับซ้อนขึ้นก็จะง่ายขึ้นเยอะเลยครับ

ถ้าน้องๆ อยากเจาะลึกเนื้อหาคณิตศาสตร์ในหัวข้ออื่นๆ หรือต้องการเทคนิคการทำโจทย์แบบละเอียดพร้อมแบบฝึกหัดเสริมความเข้าใจเพิ่มเติม พี่กฤษณ์มีคอร์สเรียนคณิตศาสตร์ทั้งแบบสด แบบออนไลน์ และแบบตัวต่อตัวที่ออกแบบมาเพื่อน้องๆ โดยเฉพาะครับ สามารถเข้าไปดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ พี่กฤษณ์ยินดีที่จะช่วยให้น้องๆ เก่งคณิตศาสตร์ไปด้วยกันครับ

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์และการแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน