การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมพิเศษ

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมพิเศษ: กุญแจสู่การแก้โจทย์ตรีโกณ

น้องๆ หลายคนอาจจะเคยเห็นตารางค่า $sin$, $cos$, $tan$ ของมุม $30^circ$, $45^circ$, $60^circ$ มาบ้างแล้วใช่ไหมครับ แต่น้องๆ เคยสงสัยไหมว่าค่าเหล่านี้มาได้อย่างไร และเราจะจำมันได้อย่างไรโดยไม่ต้องท่องจำแบบนกแก้วนกขุนทอง? วันนี้พี่กฤษณ์จะมาไขข้อข้องใจทั้งหมดให้น้องๆ เข้าใจแบบถ่องแท้เลยครับ

ทำความรู้จักกับมุมพิเศษและที่มาของค่าต่างๆ

มุมพิเศษที่เราพูดถึงกันบ่อยๆ คือ $30^circ$, $45^circ$ และ $60^circ$ ครับ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้สามารถหาได้ง่ายๆ จากการสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษสองแบบครับ

1. มุม $45^circ$ มาจากไหน?

เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วขึ้นมาได้ครับ สมมติให้ด้านประกอบมุมฉากมีความยาว $1$ หน่วยเท่ากัน ทั้งสองด้านเลย ดังนั้นมุมที่ฐานก็จะเท่ากันคือ $45^circ$ ครับ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาว $sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$ หน่วย

จากรูปสามเหลี่ยมนี้ เราจะได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ $45^circ$ ดังนี้ครับ

• $sin 45^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ฉาก}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$
• $cos 45^circ = frac{text{ชิด}}{text{ฉาก}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$
• $tan 45^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ชิด}} = frac{1}{1} = 1$

2. มุม $30^circ$ และ $60^circ$ มาจากไหน?

เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นมาครับ ให้แต่ละด้านยาว $2$ หน่วย มุมภายในแต่ละมุมจะเท่ากับ $60^circ$ จากนั้นให้ลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดลงมาตั้งฉากกับฐาน เส้นนี้จะแบ่งครึ่งฐานด้วย ทำให้ฐานแต่ละส่วนยาว $1$ หน่วย และมุมยอดก็จะถูกแบ่งครึ่งเป็น $30^circ$ ทำให้เราได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม $30^circ$, $60^circ$ และ $90^circ$ ครับ
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านสูงของสามเหลี่ยมนี้จะมีความยาว $sqrt{2^2 – 1^2} = sqrt{4 – 1} = sqrt{3}$ หน่วย

จากรูปสามเหลี่ยมนี้ เราจะได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ $30^circ$ และ $60^circ$ ดังนี้ครับ
สำหรับมุม $30^circ$:

• $sin 30^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ฉาก}} = frac{1}{2}$
• $cos 30^circ = frac{text{ชิด}}{text{ฉาก}} = frac{sqrt{3}}{2}$
• $tan 30^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ชิด}} = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3}$

สำหรับมุม $60^circ$:

• $sin 60^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ฉาก}} = frac{sqrt{3}}{2}$
• $cos 60^circ = frac{text{ชิด}}{text{ฉาก}} = frac{1}{2}$
• $tan 60^circ = frac{text{ข้าม}}{text{ชิด}} = frac{sqrt{3}}{1} = sqrt{3}$

เทคนิคการจำค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพิเศษ

เมื่อน้องๆ เข้าใจที่มาของค่าเหล่านี้แล้ว การจำค่าก็จะไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไปครับ แต่พี่กฤษณ์ก็มีเทคนิคดีๆ มาฝากเพื่อช่วยให้น้องๆ จำได้แม่นยำยิ่งขึ้นครับ

1. ตารางมือ (สำหรับ $sin$ และ $cos$ ในควอดรันต์ที่ 1)

น้องๆ สามารถใช้มือซ้ายเป็นตารางได้ครับ

• กางนิ้วมือซ้ายออก
• ให้นิ้วโป้งเป็น $0^circ$, นิ้วชี้ $30^circ$, นิ้วกลาง $45^circ$, นิ้วนาง $60^circ$, นิ้วก้อย $90^circ$
• เวลาหามุมไหน ให้พับนิ้วนั้นลงไป
• สำหรับ $sin$: นับจำนวนนิ้วที่อยู่ทาง ซ้ายมือ ของนิ้วที่พับ แล้วใส่ในสูตร $frac{sqrt{text{จำนวนนิ้วซ้าย}}}{2}$
• สำหรับ $cos$: นับจำนวนนิ้วที่อยู่ทาง ขวามือ ของนิ้วที่พับ แล้วใส่ในสูตร $frac{sqrt{text{จำนวนนิ้วขวา}}}{2}$

ลองดูตัวอย่างนะครับ: ถ้าจะหา $sin 30^circ$ ให้พับนิ้วชี้ลง (ซึ่งคือนิ้วสำหรับ $30^circ$) จะเหลือนิ้วโป้งทางซ้าย $1$ นิ้ว ดังนั้น $sin 30^circ = frac{sqrt{1}}{2} = frac{1}{2}$ ครับ

2. ตารางแบบเรียงลำดับ

น้องๆ สามารถสร้างตารางเล็กๆ ได้แบบนี้ครับ

มุม	$0^circ$	$30^circ$	$45^circ$	$60^circ$	$90^circ$
$sin theta$	$frac{sqrt{0}}{2}=0$	$frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{4}}{2}=1$
$cos theta$	$frac{sqrt{4}}{2}=1$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}$	$frac{sqrt{0}}{2}=0$
$tan theta$	$0$	$frac{1}{sqrt{3}}$	$1$	$sqrt{3}$	หาค่าไม่ได้

สำหรับ $tan theta$ น้องๆ จำไว้ว่า $tan theta = frac{sin theta}{cos theta}$ ครับ แค่นำค่า $sin$ มาหารด้วยค่า $cos$ น้องๆ ก็จะได้ค่า $tan$ แล้วครับ

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมพิเศษในควอดรันต์อื่นๆ (0-360 องศา)

เมื่อน้องๆ จำค่าของมุมพิเศษในควอดรันต์ที่ 1 ได้แล้ว การหาค่าของมุมพิเศษอื่นๆ ที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 2, 3, 4 ก็ไม่ใช่เรื่องยากครับ เราจะใช้หลักการของ “มุมอ้างอิง” (Reference Angle) และ “เครื่องหมายในแต่ละควอดรันต์” ครับ

1. มุมอ้างอิง (Reference Angle)

มุมอ้างอิงคือ มุมแหลมที่เกิดจากด้านสิ้นสุดของมุมนั้นทำกับแกน X ที่ใกล้ที่สุดครับ

• ควอดรันต์ที่ 1 (<math data-latex="0^circ < theta 0 ° < θ < 90 ° 0^circ < theta < 90^circ ): มุมอ้างอิงคือ $theta$ เอง
• ควอดรันต์ที่ 2 (<math data-latex="90^circ < theta 90 ° < θ < 180 ° 90^circ < theta < 180^circ ): มุมอ้างอิงคือ $180^circ – theta$
• ควอดรันต์ที่ 3 (<math data-latex="180^circ < theta 180 ° < θ < 270 ° 180^circ < theta < 270^circ ): มุมอ้างอิงคือ $theta – 180^circ$
• ควอดรันต์ที่ 4 (<math data-latex="270^circ < theta 270 ° < θ < 360 ° 270^circ < theta < 360^circ ): มุมอ้างอิงคือ $360^circ – theta$

2. เครื่องหมายในแต่ละควอดรันต์ (Quadrant Sign)

น้องๆ สามารถจำได้ง่ายๆ ด้วยหลัก “All-Students-Take-Calculus” หรือ “ASTC” ครับ

• ควอดรันต์ที่ 1 (All): ทุกฟังก์ชันตรีโกณมิติ ($sin$, $cos$, $tan$) เป็นบวก
• ควอดรันต์ที่ 2 (Students / $sin$): $sin$ เป็นบวก (และส่วนกลับคือ $csc$ ด้วย)
• ควอดรันต์ที่ 3 (Take / $tan$): $tan$ เป็นบวก (และส่วนกลับคือ $cot$ ด้วย)
• ควอดรันต์ที่ 4 (Calculus / $cos$): $cos$ เป็นบวก (และส่วนกลับคือ $sec$ ด้วย)

ตัวอย่างการใช้งาน:

หาค่า $sin 150^circ$

• $150^circ$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 2
• มุมอ้างอิงคือ $180^circ – 150^circ = 30^circ$
• ในควอดรันต์ที่ 2 ค่า $sin$ เป็นบวก
• ดังนั้น $sin 150^circ = sin 30^circ = frac{1}{2}$ ครับ

หาค่า $cos 240^circ$

• $240^circ$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 3
• มุมอ้างอิงคือ $240^circ – 180^circ = 60^circ$
• ในควอดรันต์ที่ 3 ค่า $cos$ เป็นลบ (มีแค่ $tan$ ที่เป็นบวก)
• ดังนั้น $cos 240^circ = -cos 60^circ = -frac{1}{2}$ ครับ

มุมพิเศษที่เกิน $360^circ$ หรือมุมติดลบ

สำหรับมุมที่เกิน $360^circ$ หรือมุมติดลบ เราจะใช้แนวคิดของ “มุมสมมูล” (Coterminal Angle) ครับ คือมุมที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบนวงกลมหนึ่งหน่วย

• มุมเกิน $360^circ$: ให้นำ $360^circ$ ไปลบออกจากมุมนั้นเรื่อยๆ จนกว่าจะได้มุมที่อยู่ในช่วง $0^circ$ ถึง $360^circ$ ครับ

  ตัวอย่าง: $sin 405^circ = sin (405^circ – 360^circ) = sin 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$

• มุมติดลบ: เราจะใช้สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมติดลบครับ
  • $sin(-theta) = -sintheta$
  • $cos(-theta) = costheta$
  • $tan(-theta) = -tantheta$

  ตัวอย่าง: $cos(-60^circ) = cos 60^circ = frac{1}{2}$

  ตัวอย่าง: $tan(-225^circ) = -tan 225^circ$ (และ $tan 225^circ = tan(225^circ – 180^circ) = tan 45^circ = 1$ ใน Q3 ค่า $tan$ เป็นบวก) ดังนั้น $tan(-225^circ) = -1$ ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• สับสนเครื่องหมาย: น้องๆ มักจะลืมตรวจสอบว่าฟังก์ชันนั้นมีค่าเป็นบวกหรือลบในควอดรันต์ที่กำลังพิจารณาอยู่ วิธีแก้คือท่องจำ ASTC ให้แม่นยำ หรือวาดรูปวงกลมหนึ่งหน่วยคร่าวๆ ครับ
• หามุมอ้างอิงผิด: ต้องระวังการหามุมอ้างอิงให้ถูกต้องกับควอดรันต์นั้นๆ เช่น ในควอดรันต์ที่ 2 ต้องเอา $180^circ$ ลบด้วยมุม ไม่ใช่มุมลบด้วย $180^circ$ ครับ
• จำค่าพื้นฐานสลับกัน: เช่น สลับค่า $sin 30^circ$ กับ $cos 30^circ$ การเข้าใจที่มาของค่าจากรูปสามเหลี่ยมจะช่วยให้จำได้แม่นขึ้นครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมพิเศษเป็นพื้นฐานที่สำคัญมากๆ ในการเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงขึ้นไป ไม่ว่าจะเป็นเรื่องกราฟตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติ หรือแม้แต่แคลคูลัสในบทที่เกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ครับ น้องๆ ควรทำความเข้าใจตั้งแต่ที่มาของค่าเหล่านี้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ แล้วค่อยฝึกใช้เทคนิคการจำต่างๆ เพื่อให้การทำโจทย์เป็นเรื่องที่คล่องแคล่วและแม่นยำครับ การหามุมอ้างอิงและตรวจสอบเครื่องหมายในแต่ละควอดรันต์คือหัวใจสำคัญที่จะทำให้น้องๆ ได้คำตอบที่ถูกต้องครับ

พี่กฤษณ์หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจเรื่องการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมพิเศษได้ดียิ่งขึ้นนะครับ คณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากถ้าเราเข้าใจหลักการและฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอครับ

ถ้าน้องๆ อยากเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ไม่ว่าจะเป็นเรื่องตรีโกณมิติ หรือหัวข้ออื่นๆ ที่น้องๆ รู้สึกว่ายาก พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนคณิตศาสตร์ดีๆ มาแนะนำครับ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สสดที่ได้เจอพี่กฤษณ์ตัวเป็นๆ คอร์สออนไลน์ที่สามารถเรียนได้ทุกที่ทุกเวลา หรือคอร์สตัวต่อตัวที่พี่กฤษณ์จะช่วยดูแลน้องๆ อย่างใกล้ชิดเป็นพิเศษ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ แล้วมาสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ด้วยกันนะครับ