การจำแนกรูปแบบของภาคตัดกรวยจากสมการมาตรฐาน

เริ่มต้นทำความเข้าใจภาคตัดกรวย

ก่อนที่เราจะไปดูวิธีการจำแนกรูปแบบ พี่กฤษณ์อยากให้น้องๆ ทบทวนกันสักนิดว่าภาคตัดกรวยคืออะไรครับ ภาคตัดกรวย หรือ Conic Sections คือเส้นโค้งที่ได้จากการตัดระนาบกับกรวยกลมสองชั้นด้วยมุมที่แตกต่างกันครับ ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้ออกมาก็มีอยู่ 4 ชนิดหลักๆ ที่น้องๆ คุ้นเคยกันดี ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

สิ่งสำคัญที่เราต้องรู้คือ ภาคตัดกรวยทุกรูปแบบสามารถเขียนแทนได้ด้วยสมการกำลังสองทั่วไปในรูป

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

โดยที่ A, B, C ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันครับ สำหรับบทความนี้ เราจะเน้นไปที่สมการมาตรฐานที่ไม่มีเทอม $xy$ (นั่นคือ B=0) ซึ่งเป็นรูปแบบที่เรามักจะเจอและสามารถจำแนกได้ง่ายกว่าครับ

รูปแบบมาตรฐานของสมการภาคตัดกรวย

มาดูสมการมาตรฐานของแต่ละรูปแบบกันนะครับ การรู้รูปแบบเหล่านี้จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจได้ว่าแต่ละชนิดมีลักษณะเด่นอย่างไร และค่าต่างๆ ในสมการหมายถึงอะไรบ้าง

• วงกลม (Circle)
  $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
  มีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ และรัศมี $r$ ครับ
• พาราโบลา (Parabola)
  $(x-h)^2 = 4c(y-k)$ (เปิดขึ้น/ลง) หรือ $(y-k)^2 = 4c(x-h)$ (เปิดซ้าย/ขวา)
  มีจุดยอดที่ $(h, k)$ และค่า $c$ บอกระยะจากจุดยอดไปยังโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์ครับ
• วงรี (Ellipse)
  $frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$
  มีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ ครับ โดยที่ $a$ และ $b$ คือความยาวครึ่งแกนเอกและครึ่งแกนโทครับ (โดยทั่วไป $a ne b$ แต่ถ้า $a=b$ จะกลายเป็นวงกลมครับ)
• ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)
  $frac{(x-h)^2}{a^2} – frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ (เปิดซ้าย/ขวา) หรือ $frac{(y-k)^2}{b^2} – frac{(x-h)^2}{a^2} = 1$ (เปิดขึ้น/ลง)
  มีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ และค่า $a$ และ $b$ เกี่ยวข้องกับความยาวครึ่งแกนตามขวางและครึ่งแกนสังยุคครับ

เทคนิคการจำแนกรูปแบบจากสมการมาตรฐาน

คราวนี้มาถึงหัวใจสำคัญแล้วครับน้องๆ การจำแนกรูปแบบของภาคตัดกรวยจากสมการมาตรฐาน $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ (กรณีที่ $B=0$) เราจะพิจารณาจากเครื่องหมายและค่าสัมประสิทธิ์ของเทอม $x^2$ และ $y^2$ นั่นคือค่า A และ C ครับ

• กรณีที่ 1: วงกลม (Circle)
  เราจะรู้ว่าเป็นวงกลมเมื่อสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีค่าเท่ากันและมีเครื่องหมายเดียวกัน (โดยทั่วไปคือเป็นบวก) นั่นคือ $A = C ne 0$ ครับ

  ข้อควรระวัง: ถ้าหลังจากจัดรูปแล้ว $r^2 = 0$ วงกลมจะลดรูปเป็นจุด (Point) หรือถ้ารัศมีเป็นค่าลบ <math data-latex="r^2
  
  
  
  r
  2
  
  <
  0
  
  r^2 < 0
  
  สมการจะไม่มีกราฟเป็นเซตว่าง (Empty Set) ครับ

• กรณีที่ 2: พาราโบลา (Parabola)
  พาราโบลาจะมีเทอมกำลังสองเพียงเทอมเดียวเท่านั้นครับ นั่นคือ $A=0$ แต่ $C ne 0$ (พาราโบลาเปิดซ้าย/ขวา) หรือ $C=0$ แต่ $A ne 0$ (พาราโบลาเปิดขึ้น/ลง) ครับ
• กรณีที่ 3: วงรี (Ellipse)
  วงรีจะมีสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีเครื่องหมายเดียวกันแต่มีค่าไม่เท่ากันครับ นั่นคือ $A ne C$ และ $A cdot C > 0$ ครับ

  ข้อควรระวัง: เช่นเดียวกับวงกลม วงรีอาจลดรูปเป็นจุด (Point) หรือเซตว่าง (Empty Set) ได้ ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ในสมการหลังการจัดรูปครับ

• กรณีที่ 4: ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)
  ไฮเพอร์โบลาจะมีสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีเครื่องหมายต่างกัน นั่นคือ <math data-latex="A cdot C
  
  
  A
  ⋅
  C
  <
  0
  
  A cdot C < 0
  
  ครับ

  ข้อควรระวัง: ไฮเพอร์โบลาสามารถลดรูปเป็นเส้นตรงตัดกันสองเส้น (Two Intersecting Lines) ได้ครับ

การจำแนกรูปแบบจากสมการทั่วไปกำลังสอง (กรณีมีเทอม $xy$)

สำหรับน้องๆ ที่อยากศึกษาลึกลงไปอีก หากเจอสมการกำลังสองทั่วไปในรูป $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ ที่มีเทอม $xy$ (นั่นคือ $B ne 0$) เราจะใช้ค่าดิสคริมิแนนต์ (Discriminant) $B^2 – 4AC$ ในการจำแนกครับ

• ถ้า <math data-latex="B^2 – 4AC
  
  
  
  B
  2
  
  −
  4
  A
  C
  <
  0
  
  B^2 – 4AC < 0
  
  เป็น วงรี (หรือวงกลม ถ้า $B=0$ และ $A=C$) รวมถึงกรณีลดรูป เช่น จุด หรือเซตว่าง
• ถ้า $B^2 – 4AC = 0$ เป็น พาราโบลา รวมถึงกรณีลดรูป เช่น เส้นตรงขนานกันสองเส้น, เส้นตรงหนึ่งเส้น, หรือเซตว่าง
• ถ้า $B^2 – 4AC > 0$ เป็น ไฮเพอร์โบลา รวมถึงกรณีลดรูป เช่น เส้นตรงตัดกันสองเส้น

สำหรับในระดับชั้นเรียนส่วนใหญ่ น้องๆ มักจะเจอสมการที่ $B=0$ ทำให้การพิจารณา $B^2 – 4AC$ กลายเป็นการพิจารณาแค่ $-4AC$ ซึ่งก็สอดคล้องกับหลักเกณฑ์ที่เราดูเครื่องหมายของ A และ C ข้างต้นนั่นเองครับ

ตัวอย่างการจำแนกรูปแบบ

มาลองดูตัวอย่างกันเลยนะครับ จะได้เข้าใจการนำไปใช้จริงครับ

ตัวอย่างที่ 1: $3x^2 + 3y^2 – 6x + 12y – 15 = 0$

ในสมการนี้ เรามี $A=3$ และ $C=3$ ครับ สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีค่าเท่ากันและเป็นบวก ($A=C$) ดังนั้นสมการนี้เป็นวงกลมครับ

ตัวอย่างที่ 2: $y^2 – 8x – 4y + 20 = 0$

ในสมการนี้ มีเพียงเทอม $y^2$ ที่เป็นกำลังสอง ($A=0$ และ $C=1$) ดังนั้นสมการนี้เป็นพาราโบลาครับ

ตัวอย่างที่ 3: $4x^2 + 9y^2 + 16x – 18y – 11 = 0$

ในสมการนี้ เรามี $A=4$ และ $C=9$ ครับ สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีเครื่องหมายเดียวกัน (เป็นบวก) แต่มีค่าไม่เท่ากัน ($A ne C$) ดังนั้นสมการนี้เป็นวงรีครับ

ตัวอย่างที่ 4: $x^2 – 2y^2 + 4x + 4y – 6 = 0$

ในสมการนี้ เรามี $A=1$ และ $C=-2$ ครับ สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ มีเครื่องหมายต่างกัน (<math data-latex="A cdot C


A
⋅
C
<
0

A cdot C < 0

) ดังนั้นสมการนี้เป็นไฮเพอร์โบลาครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการจำแนก

น้องๆ หลายคนอาจจะพลาดจุดเล็กๆ น้อยๆ ที่ทำให้จำแนกผิดได้ พี่กฤษณ์เลยรวบรวมข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาให้ดูกันครับ

• ไม่จัดรูปสมการให้เรียบร้อยก่อน: บางครั้งสมการอาจจะยังไม่ถูกจัดอยู่ในรูปทั่วไปหรือมีตัวเลขคูณอยู่ น้องๆ ควรย้ายข้างหรือหารตลอดด้วยตัวเลขที่เหมาะสมก่อนเสมอ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ A และ C ชัดเจนครับ
• ลืมพิจารณากรณีลดรูป (Degenerate Cases): เช่น วงกลม/วงรีลดรูปเป็นจุด หรือไฮเพอร์โบลาลดรูปเป็นเส้นตรงตัดกันสองเส้น กรณีเหล่านี้ต้องจัดรูปสมการกำลังสองสมบูรณ์เพื่อดูว่าฝั่งขวาของสมการเป็น $0$ หรือค่าติดลบหรือไม่ครับ
• เข้าใจผิดเรื่องเครื่องหมาย: ต้องระวังเครื่องหมายของ A และ C ให้ดีนะครับ พลาดแค่นิดเดียวก็จำแนกผิดเป็นอีกชนิดได้เลย

สรุปแนวคิดสำคัญ

การจำแนกรูปแบบภาคตัดกรวยจากสมการมาตรฐานนั้นไม่ยากเลยครับน้องๆ เพียงแค่น้องๆ จำหลักการง่ายๆ คือ

• ถ้าสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ เท่ากันและมีเครื่องหมายเดียวกัน นั่นคือ วงกลม ครับ
• ถ้ามีเทอมกำลังสองเพียงเทอมเดียว นั่นคือ พาราโบลา ครับ
• ถ้าสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ เครื่องหมายเดียวกันแต่ค่าไม่เท่ากัน นั่นคือ วงรี ครับ
• ถ้าสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$ เครื่องหมายต่างกัน นั่นคือ ไฮเพอร์โบลา ครับ

และอย่าลืมพิจารณากรณีลดรูปหรือกรณีที่มีเทอม $xy$ ด้วยนะครับ จะช่วยให้น้องๆ แม่นยำมากขึ้น

พี่กฤษณ์หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์กับน้องๆ ในการทำความเข้าใจและจำแนกภาคตัดกรวยได้ง่ายขึ้นนะครับ ถ้าหากน้องๆ อยากเรียนรู้เพิ่มเติม หรือต้องการเทคนิคการทำโจทย์ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ทั้งในส่วนของภาคตัดกรวยหรือเรื่องอื่นๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนหลากหลายรูปแบบให้น้องๆ ได้เลือกตามความถนัดเลยครับ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สสด คอร์สออนไลน์ หรือจะเรียนตัวต่อตัวก็ได้ครับ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยนะครับ