ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และ ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) พื้นฐานที่ต้องรู้

น้องๆ ครับ ในโลกของตัวเลข มีแนวคิดอยู่สองอย่างที่ช่วยให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนต่างๆ ได้ดีขึ้น นั่นคือ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. และ ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. สองสิ่งนี้แม้ชื่อจะคล้ายกัน แต่มีวิธีการหาและความหมายที่แตกต่างกันออกไป วันนี้พี่กฤษณ์จะอธิบายให้น้องๆ เข้าใจอย่างละเอียด พร้อมตัวอย่างประกอบ เพื่อให้น้องๆ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้อย่างแม่นยำครับ

ส่วนที่ 1: ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม. – Greatest Common Divisor: GCD)

มาเริ่มกันที่ ห.ร.ม. กันก่อนครับ คำว่า ห.ร.ม. ย่อมาจาก ตัวหารร่วมมาก ซึ่งหมายถึง จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด ที่สามารถหารจำนวนเหล่านั้นลงตัวได้ทุกจำนวน

คำจำกัดความที่ควรรู้ก่อนหา ห.ร.ม.

• ตัวหาร (Divisor): คือ จำนวนที่หารจำนวนอื่นลงตัว เช่น ตัวหารของ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
• ตัวหารร่วม (Common Divisor): คือ จำนวนที่สามารถหารจำนวนตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปลงตัวได้พร้อมกัน เช่น ตัวหารร่วมของ 12 และ 18 คือ 1, 2, 3, 6

จากตัวอย่างนี้ น้องๆ จะเห็นว่าตัวหารร่วมที่มากที่สุดคือ 6 นั่นเองครับ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6

วิธีการหา ห.ร.ม.

เราสามารถหา ห.ร.ม. ได้หลายวิธี แต่วิธีที่นิยมใช้กันบ่อยๆ คือ การแยกตัวประกอบ และ การหารสั้นครับ

1. การแยกตัวประกอบ (Prime Factorization)

วิธีนี้คือการแยกแต่ละจำนวนออกเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ จากนั้นเลือกตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกันของทุกจำนวน โดยเลือกกำลังที่น้อยที่สุดครับ

ตัวอย่าง: หา ห.ร.ม. ของ 12 และ 18

• แยกตัวประกอบของ 12: $12 = 2 times 2 times 3 = 2^2 times 3^1$
• แยกตัวประกอบของ 18: $18 = 2 times 3 times 3 = 2^1 times 3^2$

ตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกันคือ 2 และ 3

• สำหรับ 2: ตัวที่มีกำลังน้อยที่สุดคือ $2^1$
• สำหรับ 3: ตัวที่มีกำลังน้อยที่สุดคือ $3^1$

ดังนั้น ห.ร.ม. $= 2^1 times 3^1 = 2 times 3 = 6$ ครับ

2. การหารสั้น (Short Division)

วิธีนี้คือการนำจำนวนทั้งหมดมาหารด้วยจำนวนเฉพาะที่สามารถหารลงตัวได้ทุกจำนวนไปเรื่อยๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะใดๆ ที่หารลงตัวได้อีก ตัวหารทั้งหมดที่นำมาหารกันเป็น ห.ร.ม. ครับ

ตัวอย่าง: หา ห.ร.ม. ของ 24, 36, 60

• นำ 24, 36, 60 มาตั้งหารสั้น

• ใช้ 2 หาร: 2 | 24 36 60 (ได้ 12 18 30)

• ใช้ 2 หาร: 2 | 12 18 30 (ได้ 6 9 15)

• ใช้ 3 หาร: 3 | 6 9 15 (ได้ 2 3 5)

• ตอนนี้ไม่มีจำนวนเฉพาะใดๆ ที่หาร 2, 3, 5 ได้ลงตัวพร้อมกันแล้ว

ดังนั้น ห.ร.ม. $= 2 times 2 times 3 = 12$ ครับ

ส่วนที่ 2: ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น. – Least Common Multiple: LCM)

ต่อมาคือ ค.ร.น. ครับ คำว่า ค.ร.น. ย่อมาจาก ตัวคูณร่วมน้อย ซึ่งหมายถึง จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่จำนวนเหล่านั้นสามารถหารลงตัวได้ทุกจำนวน

คำจำกัดความที่ควรรู้ก่อนหา ค.ร.น.

• ตัวคูณ (Multiple): คือ ผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณจำนวนนั้นด้วยจำนวนเต็มบวก เช่น ตัวคูณของ 4 ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• ตัวคูณร่วม (Common Multiple): คือ จำนวนที่จำนวนตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปสามารถหารลงตัวได้พร้อมกัน เช่น ตัวคูณร่วมของ 4 และ 6 ได้แก่ 12, 24, 36, …

จากตัวอย่างนี้ น้องๆ จะเห็นว่าตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดคือ 12 นั่นเองครับ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12

วิธีการหา ค.ร.น.

วิธีการหา ค.ร.น. ก็คล้ายกับการหา ห.ร.ม. ครับ มีทั้งการแยกตัวประกอบ และ การหารสั้น

1. การแยกตัวประกอบ (Prime Factorization)

วิธีนี้คือการแยกแต่ละจำนวนออกเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ จากนั้นเลือกตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด (ทั้งที่ซ้ำและไม่ซ้ำ) โดยเลือกกำลังที่มากที่สุดครับ

ตัวอย่าง: หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18

• แยกตัวประกอบของ 12: $12 = 2^2 times 3^1$
• แยกตัวประกอบของ 18: $18 = 2^1 times 3^2$

ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดคือ 2 และ 3

• สำหรับ 2: ตัวที่มีกำลังมากที่สุดคือ $2^2$
• สำหรับ 3: ตัวที่มีกำลังมากที่สุดคือ $3^2$

ดังนั้น ค.ร.น. $= 2^2 times 3^2 = 4 times 9 = 36$ ครับ

2. การหารสั้น (Short Division)

วิธีนี้คือการนำจำนวนทั้งหมดมาหารด้วยจำนวนเฉพาะที่สามารถหารลงตัวได้อย่างน้อยสองจำนวนไปเรื่อยๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะใดๆ ที่หารลงตัวได้อย่างน้อยสองจำนวนอีก จากนั้นนำตัวหารทั้งหมดและผลลัพธ์สุดท้ายที่เหลือมาคูณกันทั้งหมดครับ

ตัวอย่าง: หา ค.ร.น. ของ 10, 15, 20

• นำ 10, 15, 20 มาตั้งหารสั้น

• ใช้ 5 หาร: 5 | 10 15 20 (ได้ 2 3 4)

• ใช้ 2 หาร (หาร 2 และ 4 ได้): 2 | 2 3 4 (ได้ 1 3 2) *ตรงนี้ 3 หารไม่ได้ ให้ดึงลงมา*

• ตอนนี้ไม่มีจำนวนเฉพาะใดๆ ที่หาร 1, 3, 2 ได้ลงตัวอย่างน้อยสองจำนวนแล้ว

ดังนั้น ค.ร.น. $= 5 times 2 times 1 times 3 times 2 = 60$ ครับ

ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

น้องๆ ทราบไหมครับว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใดๆ ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. นั้นมีความพิเศษอยู่

ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกสองจำนวน คือ $A$ และ $B$ แล้ว

$A times B = text{ห.ร.ม.}(A, B) times text{ค.ร.น.}(A, B)$

สูตรนี้มีประโยชน์มากในการตรวจสอบคำตอบ หรือเมื่อเราทราบค่าหนึ่งแล้วต้องการหาอีกค่าหนึ่งครับ

ตัวอย่าง: ถ้า ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 และ ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 36

เรามาลองแทนค่าในสูตรดูนะครับ:

$12 times 18 = 216$

$text{ห.ร.ม.} times text{ค.ร.น.} = 6 times 36 = 216$

จะเห็นว่าทั้งสองข้างเท่ากันพอดีเลยใช่ไหมครับ!

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Pitfalls)

น้องๆ หลายคนมักจะพลาดในจุดเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พี่กฤษณ์รวบรวมข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาให้นะครับ

• สับสนวิธีการหารสั้น:
  • สำหรับ ห.ร.ม. การหารสั้นต้องหารลงตัว ทุกจำนวน ที่นำมาหาร
  • สำหรับ ค.ร.น. การหารสั้นต้องหารลงตัว อย่างน้อยสองจำนวน ที่นำมาหาร (ตัวที่หารไม่ลงตัวให้ดึงลงมา)
• เลือกตัวประกอบเฉพาะผิดในการแยกตัวประกอบ:
  • สำหรับ ห.ร.ม. ให้เลือกตัวประกอบเฉพาะที่ ซ้ำกันทุกจำนวน โดยเลือกกำลัง น้อยที่สุด
  • สำหรับ ค.ร.น. ให้เลือกตัวประกอบเฉพาะ ทั้งหมด (ทั้งซ้ำและไม่ซ้ำ) โดยเลือกกำลัง มากที่สุด
• ลืมนำผลลัพธ์สุดท้ายมาคูณ: ในการหารสั้นเพื่อหา ค.ร.น. อย่าลืมนำผลลัพธ์สุดท้ายที่เหลือ (ที่ไม่สามารถหารต่อได้แล้ว) มาคูณรวมกับตัวหารทั้งหมดด้วยนะครับ
• เข้าใจโจทย์ปัญหาผิด: โจทย์บางข้อจะบอกใบ้ให้ว่าควรใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น.
  • ถ้าโจทย์ต้องการ “แบ่งให้เท่าๆ กัน”, “จัดกลุ่มที่มากที่สุด”, “ขนาดที่ใหญ่ที่สุด” มักจะใช้ ห.ร.ม.
  • ถ้าโจทย์ต้องการ “น้อยที่สุด”, “พร้อมกันอีกครั้ง”, “ครั้งต่อไปเมื่อใด” มักจะใช้ ค.ร.น.

เทคนิคและข้อแนะนำเพิ่มเติม

การฝึกทำโจทย์บ่อยๆ เป็นกุญแจสำคัญที่จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจและแยกแยะการใช้ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ได้อย่างชำนาญครับ ลองอ่านโจทย์อย่างรอบคอบ วิเคราะห์สิ่งที่โจทย์ต้องการ และเลือกใช้วิธีที่เหมาะสม

นอกจากนี้ น้องๆ ควรหมั่นทบทวนเรื่องจำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบ เพราะเป็นพื้นฐานสำคัญของการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ด้วยวิธีการเหล่านี้ครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

• ห.ร.ม. คือ ตัวหารร่วมที่มากที่สุด ใช้แก้ปัญหาเกี่ยวกับการแบ่ง การจัดกลุ่ม หรือการหาขนาดที่ใหญ่ที่สุดอย่างเท่าเทียมกัน
• ค.ร.น. คือ ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ใช้แก้ปัญหาเกี่ยวกับการนับรอบ การนัดหมาย หรือเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันอีกครั้ง
• ทั้งสองมีวิธีการหาที่คล้ายกันคือการแยกตัวประกอบและการหารสั้น แต่มีรายละเอียดการเลือกตัวเลขและการคำนวณที่แตกต่างกัน
• ความสัมพันธ์ $A times B = text{ห.ร.ม.}(A, B) times text{ค.ร.น.}(A, B)$ มีประโยชน์ในการตรวจสอบและแก้โจทย์ครับ

เป็นยังไงบ้างครับน้องๆ พอจะเข้าใจเรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มากขึ้นแล้วใช่ไหมครับ? เรื่องนี้ดูเหมือนจะง่าย แต่ก็มีจุดเล็กจุดน้อยที่ต้องทำความเข้าใจให้ดีครับ เพื่อไม่ให้พลาดเวลาทำข้อสอบ

หากน้องๆ อยากเจาะลึกเนื้อหาคณิตศาสตร์ในบทเรียนอื่นๆ เพิ่มเติม หรือต้องการเทคนิคการทำโจทย์แบบที่เห็นผลจริง พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สสอนคณิตศาสตร์หลากหลายรูปแบบ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สสด คอร์สออนไลน์ หรือจะเรียนตัวต่อตัว ก็สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยนะครับ พี่กฤษณ์พร้อมดูแลและช่วยให้น้องๆ เก่งคณิตศาสตร์อย่างแน่นอนครับ!