สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซตและเพาเวอร์เซต

ก่อนที่เราจะเข้าสู่เรื่องสับเซตและเพาเวอร์เซตโดยตรง พี่กฤษณ์อยากทบทวนพื้นฐานของคำว่า “เซต” ให้กับน้องๆ ก่อนสักนิดนะครับ เซตคือกลุ่มของสิ่งของต่างๆ ที่เราสนใจและสามารถระบุสมาชิกได้อย่างชัดเจนว่าอะไรเป็นสมาชิกในเซตนั้น อะไรไม่ใช่ โดยสมาชิกแต่ละตัวในเซตจะมีความแตกต่างกัน ไม่ซ้ำซ้อนกันครับ เช่น เซตของเลขคู่บวกที่น้อยกว่า 10 คือ ${2, 4, 6, 8}$ เป็นต้นครับ

สับเซต (Subset)

สับเซต คือแนวคิดที่บอกความสัมพันธ์ว่าเซตหนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอีกเซตหนึ่งหรือไม่ครับ

เราจะกล่าวว่าเซต $A$ เป็นสับเซตของเซต $B$ ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต $A$ ต้องเป็นสมาชิกของเซต $B$ ด้วยครับ เราใช้สัญลักษณ์ $subseteq$ แทนคำว่า “เป็นสับเซตของ” ครับ

ดังนั้น ถ้า $A$ เป็นสับเซตของ $B$ เราจะเขียนแทนด้วย $A subseteq B$ ครับ

ตัวอย่างสับเซต

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ กันครับ

• ถ้า $A = {1, 2}$ และ $B = {1, 2, 3}$ จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของ $A$ คือ 1 และ 2 ล้วนอยู่ใน $B$ ดังนั้น $A subseteq B$ ครับ
• ถ้า $C = {a, b}$ และ $D = {a, b, c, d}$ สมาชิกของ $C$ ทุกตัวก็อยู่ใน $D$ ดังนั้น $C subseteq D$ ครับ
• ถ้า $E = {text{มะม่วง}, text{ส้ม}}$ และ $F = {text{กล้วย}, text{มะม่วง}}$ จะเห็นว่า “ส้ม” อยู่ใน $E$ แต่ไม่อยู่ใน $F$ ดังนั้น $E$ ไม่เป็นสับเซตของ $F$ ครับ

สับเซตแท้ (Proper Subset)

นอกจากสับเซตทั่วไปแล้ว ยังมี สับเซตแท้ อีกด้วยครับ สับเซตแท้คือเซต $A$ ที่เป็นสับเซตของ $B$ แต่ $A$ จะต้องไม่เท่ากับ $B$ (หมายถึง $B$ ต้องมีสมาชิกบางตัวที่ $A$ ไม่มี) เราใช้สัญลักษณ์ $subset$ แทนคำว่า “เป็นสับเซตแท้ของ” ครับ

จากตัวอย่างข้างต้น ถ้า $A = {1, 2}$ และ $B = {1, 2, 3}$ จะได้ว่า $A subset B$ เพราะ $A subseteq B$ และ $A neq B$ ครับ

คุณสมบัติสำคัญของสับเซต

• เซตว่าง ($emptyset$) เป็นสับเซตของทุกๆ เซตเสมอครับ ไม่ว่าเซตนั้นจะมีสมาชิกอะไรหรือไม่ก็ตาม เราสามารถเขียนได้ว่า $emptyset subseteq A$ สำหรับเซต $A$ ใดๆ ครับ
• ทุกๆ เซตเป็นสับเซตของตัวเองเสมอครับ เช่น $A subseteq A$ เสมอครับ

การนับจำนวนสับเซต

ถ้าเซต $A$ มีสมาชิก $n$ ตัว จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต $A$ จะเท่ากับ $2^n$ ครับ

และจำนวนสับเซตแท้ทั้งหมดของเซต $A$ จะเท่ากับ $2^n – 1$ ครับ (เพราะเราลบเซตตัวเองออกไป 1 ตัวนั่นเอง)

ตัวอย่าง: ถ้า $A = {1, 2, 3}$ มีสมาชิก $n = 3$ ตัว

จำนวนสับเซตทั้งหมดคือ $2^3 = 8$ สับเซต ได้แก่

• เซตว่าง: $emptyset$
• สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว: ${1}, {2}, {3}$
• สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว: ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$
• สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว: ${1, 2, 3}$

รวมทั้งหมด 8 สับเซตครับ และมีสับเซตแท้ $8 – 1 = 7$ สับเซต (คือตัด ${1, 2, 3}$ ออกไปครับ)

เพาเวอร์เซต (Power Set)

เพาเวอร์เซต ของเซต $A$ คือเซตที่รวบรวมสับเซตทั้งหมดของเซต $A$ ไว้เป็นสมาชิกครับ เราใช้สัญลักษณ์ $P(A)$ แทนเพาเวอร์เซตของ $A$ ครับ

สิ่งสำคัญที่น้องๆ ต้องจำให้ขึ้นใจคือ สมาชิกของเพาเวอร์เซต $P(A)$ นั้น เป็นเซต เสมอครับ

การสร้างเพาเวอร์เซต

จากเซต $A = {1, 2, 3}$ ที่เราหาสับเซตไปแล้ว 8 ตัว เราสามารถนำสับเซตเหล่านั้นมารวมกันเป็นเซตเดียวได้เป็นเพาเวอร์เซต $P(A)$ ครับ

$P(A) = {emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}$

จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

เนื่องจากเพาเวอร์เซตคือเซตของสับเซตทั้งหมด ดังนั้นจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต $P(A)$ ก็คือจำนวนสับเซตทั้งหมดของ $A$ นั่นเองครับ

ถ้าเซต $A$ มีสมาชิก $n$ ตัว หรือเขียนได้ว่า $|A| = n$ แล้ว จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต $P(A)$ จะเท่ากับ $2^n$ หรือเขียนได้ว่า $|P(A)| = 2^n$ ครับ

ตัวอย่างเพิ่มเติมของเพาเวอร์เซต

• ถ้า $A = emptyset$ (เซตว่างมีสมาชิก 0 ตัว $n=0$)

  สับเซตของ $A$ คือ $emptyset$ เพียงตัวเดียว

  ดังนั้น $P(A) = {emptyset}$ ครับ $|P(A)| = 2^0 = 1$ ถูกต้องเลยครับ

• ถ้า $A = { emptyset }$ (เซต $A$ มีสมาชิก 1 ตัว คือ เซตว่าง $n=1$)

  สับเซตของ $A$ คือ

  • เซตว่าง ($emptyset$)
  • เซตของสมาชิกหนึ่งตัว (${emptyset}$) ซึ่งก็คือตัวเซต $A$ นั่นเอง

  ดังนั้น $P(A) = {emptyset, {emptyset}}$ ครับ $|P(A)| = 2^1 = 2$ ถูกต้องอีกแล้วครับ

ความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่าง สมาชิก สับเซต และ เพาเวอร์เซต

จุดนี้เป็นจุดที่น้องๆ มักจะสับสนกันบ่อยที่สุดเลยครับ ระหว่างคำว่า “สมาชิก” กับ “สับเซต” และการนำไปใช้กับเพาเวอร์เซต

• สมาชิก ($in$) คือ สิ่งที่อยู่ในเซตโดยตรง ไม่ต้องมีวงเล็บปีกกาครอบ
• สับเซต ($subseteq$) คือ เซตย่อยของอีกเซตหนึ่ง สมาชิกทุกตัวในเซตย่อยต้องอยู่ในเซตใหญ่ และต้องมีวงเล็บปีกกาครอบเสมอ

จากตัวอย่าง $A = {1, 2, 3}$ และ $P(A) = {emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}$

• $1 in A$ (1 เป็นสมาชิกของ A) แต่ $1 notin P(A)$ ครับ เพราะสมาชิกของ $P(A)$ ต้องเป็นเซต
• ${1} subseteq A$ (เซต ${1}$ เป็นสับเซตของ A) และ ${1} in P(A)$ (เซต ${1}$ เป็นสมาชิกของ $P(A)$)
• $A subseteq A$ และ $A in P(A)$
• $emptyset subseteq A$ และ $emptyset in P(A)$

จะเห็นว่าเซตใดๆ ที่เป็นสับเซตของ $A$ ก็จะเป็นสมาชิกของ $P(A)$ ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Mistakes)

จากประสบการณ์สอนของพี่กฤษณ์ น้องๆ มักจะพลาดในประเด็นเหล่านี้ครับ

• สับสนระหว่างสมาชิกกับสับเซต: จำไว้ว่าสมาชิกไม่จำเป็นต้องเป็นเซต แต่สับเซตต้องเป็นเซตเสมอ เช่น $2 in {1, 2, 3}$ ถูกต้อง แต่ ${2} in {1, 2, 3}$ ผิดครับ ต้องเป็น ${2} subseteq {1, 2, 3}$
• เซตว่าง: $emptyset$ เป็นสับเซตของทุกเซตเสมอ และ $emptyset$ เป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตของทุกเซตเสมอ เช่น $emptyset in P(A)$
• การเขียนเพาเวอร์เซต: ต้องไม่ลืมว่าสมาชิกของเพาเวอร์เซตต้องเป็น “เซต” ครับ ดังนั้นต้องมีวงเล็บปีกกาครอบเสมอ เช่น $P({1}) = {emptyset, {1}}$ ไม่ใช่ $P({1}) = {emptyset, 1}$
• เซตซ้อนเซต: เวลาเจอสมาชิกที่เป็นเซตอยู่แล้ว เช่น $A = {1, {2, 3}}$

  สมาชิกของ $A$ คือ $1$ และ ${2, 3}$ ครับ

  ดังนั้นเวลาหาสับเซตของ $A$ ที่มีสมาชิก 1 ตัว ก็ต้องเป็น ${{1}}$ และ ${{{2, 3}}}$ ครับ ต้องครอบวงเล็บปีกกาเข้าไปอีกชั้นเสมอเมื่อต้องการสร้างสับเซต

เทคนิคและข้อควรจำในการทำข้อสอบ

• วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์: ช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ของเซตและสับเซตได้ชัดเจนขึ้นครับ
• ไล่หาสับเซตอย่างเป็นระบบ: เริ่มจากเซตว่าง, สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว, 2 ตัว, ไปเรื่อยๆ จนถึงเซตตัวเอง เพื่อไม่ให้พลาดการนับ
• ระวังโจทย์พลิกแพลง: บางครั้งโจทย์จะให้เซตที่มีสมาชิกเป็นเซตซ้อนกัน หรือมีเซตว่างเป็นสมาชิก ต้องตีความให้ดีว่าอะไรคือ “สมาชิก” และอะไรคือ “สับเซต”
• การหาจำนวนสับเซตที่มีเงื่อนไข:
  • ถ้าสับเซต ต้องมี สมาชิก $k$ ตัวใดๆ ที่กำหนดมา ให้คิดว่าเราเลือก $k$ ตัวนี้มาแล้ว เหลือสมาชิกให้เลือกจากที่เหลือ $n-k$ ตัว จำนวนสับเซตคือ $2^{n-k}$
  • ถ้าสับเซต ต้องไม่มี สมาชิก $k$ ตัวใดๆ ที่กำหนดมา ให้ตัด $k$ ตัวนั้นทิ้งไปก่อน แล้วนับจำนวนสับเซตของเซตที่เหลือ $n-k$ ตัว จำนวนสับเซตก็คือ $2^{n-k}$ เช่นกันครับ

ตัวอย่างโจทย์ประยุกต์

โจทย์: กำหนดให้ $A = {1, 2, {3}, 4}$ จงหาจำนวนสมาชิกของ $P(A)$ และพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

1. ${3} in A$
2. ${3} subseteq A$
3. ${{3}} subseteq A$
4. ${1, {3}} in P(A)$

วิธีคิด:

เริ่มแรก เราต้องหาจำนวนสมาชิกของ $A$ ก่อนครับ สมาชิกของ $A$ คือ $1, 2, {3}, 4$ ดังนั้น $|A| = 4$ ครับ

จำนวนสมาชิกของ $P(A)$ คือ $2^4 = 16$ ตัวครับ

มาดูแต่ละข้อความกันครับ

1. ${3} in A$ : ถูก ครับ เพราะ ${3}$ เป็นหนึ่งในสมาชิกที่อยู่ภายในเซต $A$ โดยตรง
2. ${3} subseteq A$ : ผิด ครับ เพราะการที่ ${3}$ จะเป็นสับเซตของ $A$ ได้นั้น สมาชิกของ ${3}$ (ซึ่งก็คือ $3$) จะต้องเป็นสมาชิกของ $A$ แต่ใน $A$ ไม่มีสมาชิกตัวไหนเป็น $3$ โดยตรง มีแค่เซต ${3}$ ที่เป็นสมาชิกครับ
3. ${{3}} subseteq A$ : ถูก ครับ เพราะการที่ ${{3}}$ จะเป็นสับเซตของ $A$ ได้นั้น สมาชิกของ ${{3}}$ (ซึ่งก็คือ ${3}$) จะต้องเป็นสมาชิกของ $A$ ซึ่งเป็นจริงตามข้อ 1 ครับ
4. ${1, {3}} in P(A)$ : ถูก ครับ เพราะการเป็นสมาชิกของ $P(A)$ หมายถึงการเป็นสับเซตของ $A$ นั่นเอง ซึ่ง ${1, {3}}$ เป็นสับเซตของ $A$ เพราะสมาชิกทุกตัวของเซต ${1, {3}}$ คือ $1$ และ ${3}$ ต่างก็เป็นสมาชิกของ $A$ ครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

น้องๆ ครับ สับเซตและเพาเวอร์เซตเป็นหัวใจสำคัญของบทเซตเลยทีเดียว การทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่าง “สมาชิก” กับ “สับเซต” และการเขียนเพาเวอร์เซตอย่างถูกต้องเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งครับ

• สับเซต: เซตย่อยของอีกเซตหนึ่ง ถ้า $A subseteq B$ หมายถึงสมาชิกทุกตัวของ $A$ อยู่ใน $B$
• จำนวนสับเซต: ถ้ามีสมาชิก $n$ ตัว จะมีสับเซต $2^n$ ตัว และสับเซตแท้ $2^n – 1$ ตัว
• เพาเวอร์เซต: เซตของสับเซตทั้งหมดของเซตนั้นๆ สมาชิกของเพาเวอร์เซตเป็นเซตเสมอ
• เซตว่าง: $emptyset$ เป็นทั้งสับเซตของทุกเซต และเป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตของทุกเซต

การฝึกฝนทำโจทย์หลากหลายรูปแบบจะช่วยให้น้องๆ เข้าใจและจำหลักการเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำครับ

หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจเรื่องสับเซตและเพาเวอร์เซตได้กระจ่างมากขึ้นนะครับ คณิตศาสตร์เป็นเรื่องของการฝึกฝน ยิ่งฝึกมาก ยิ่งเก่งครับ หากน้องๆ อยากเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ไม่ว่าจะเป็นเนื้อหาบทอื่นๆ หรือต้องการเทคนิคการทำโจทย์แบบเจาะลึก พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนคณิตศาสตร์หลากหลายรูปแบบให้น้องๆ ได้เลือกตามความถนัดเลยครับ ทั้งคอร์สสด คอร์สออนไลน์ หรือเรียนตัวต่อตัว น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ พี่กฤษณ์รอเจอน้องๆ ทุกคนนะครับ