การหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ทำความเข้าใจลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

ก่อนที่เราจะไปหาผลบวก พี่กฤษณ์อยากจะทบทวนให้น้องๆ จำได้ก่อนว่าลำดับเลขคณิตคืออะไรครับ ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับของจำนวนที่ผลต่างของพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน (พจน์ขวา ลบ พจน์ซ้าย) มีค่าคงที่เสมอครับ เราเรียกค่าคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม (common difference) แทนด้วย d ครับ

ยกตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 5, 8, 11, … เป็นลำดับเลขคณิต เพราะว่า 5-2 = 3, 8-5 = 3, 11-8 = 3 ซึ่งมีผลต่างร่วม d เท่ากับ 3 นั่นเองครับ

และสูตรสำหรับหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต (ซึ่งเราจะต้องใช้ในการหาผลบวกด้วย) คือ

$a_n = a_1 + (n-1)d$

โดยที่ an คือ พจน์ที่ n, a1 คือ พจน์แรก และ d คือ ผลต่างร่วม ครับ

การหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต (Sn)

การหาผลบวกของลำดับเลขคณิตมีที่มาจากแนวคิดที่น่าสนใจมากๆ ครับ เขาเล่ากันว่า คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ เคยใช้หลักการนี้ตั้งแต่สมัยเป็นเด็กนักเรียนในการหาผลบวกของเลข 1 ถึง 100 ได้อย่างรวดเร็ว ลองจินตนาการถึงการจับคู่ตัวเลขหัวท้ายมาบวกกันดูนะครับ เช่น 1+100 = 101, 2+99 = 101 ไปเรื่อยๆ น้องๆ จะเห็นว่าผลบวกที่ได้จะเท่ากันเสมอครับ

จากแนวคิดนี้ ทำให้เราได้สูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิตมาสองสูตรด้วยกันครับ

สูตรที่ 1: เมื่อทราบพจน์แรก (a1) และพจน์สุดท้าย (an)

$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

สูตรที่ 2: เมื่อทราบพจน์แรก (a1) และผลต่างร่วม (d)

สูตรนี้มาจากการแทนค่า an จากสูตรพจน์ที่ n เข้าไปในสูตรที่ 1 ครับ

$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

น้องๆ สามารถเลือกใช้สูตรไหนก็ได้ตามข้อมูลที่โจทย์ให้มาเลยครับ ถ้าโจทย์บอกพจน์สุดท้ายมาก็ใช้สูตรแรกได้เลย แต่ถ้าไม่บอกพจน์สุดท้าย ก็ต้องใช้สูตรที่สอง หรือหาสูตรพจน์สุดท้ายก่อนแล้วค่อยไปใช้สูตรแรกก็ได้ครับ

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 1: จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 3, 7, 11, … ครับ

วิธีทำ:

จากลำดับที่กำหนดให้ เราทราบว่า a1 = 3 ครับ
ผลต่างร่วม d = 7 – 3 = 4 ครับ
เราต้องการหาผลบวก 10 พจน์แรก ดังนั้น n = 10 ครับ
เนื่องจากเราไม่ทราบพจน์สุดท้าย (a10) โดยตรง เราจะใช้สูตร $…$ ครับ
แทนค่าลงไปในสูตร:

$S_{10} = frac{10}{2}(2(3) + (10-1)4)$
$S_{10} = 5(6 + (9)4)$
$S_{10} = 5(6 + 36)$
$S_{10} = 5(42)$
$S_{10} = 210$

ดังนั้น ผลบวก 10 พจน์แรกของลำดับนี้คือ 210 ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาผลบวกเลขคณิต

หาค่า d ผิด: น้องๆ มักจะลืมว่า d คือ a2 ลบ a1 ไม่ใช่ a1 ลบ a2 นะครับ
สับสนระหว่าง n และ an: n คือจำนวนพจน์ ส่วน an คือค่าของพจน์นั้นๆ ครับ
การคำนวณในวงเล็บ: ต้องระวังลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ให้ดีครับ ทำคูณหารก่อนบวกลบเสมอ

ทำความเข้าใจลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับของจำนวนที่อัตราส่วนของพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน (พจน์ขวา หาร พจน์ซ้าย) มีค่าคงที่เสมอครับ เราเรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) แทนด้วย r ครับ

ยกตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, … เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะว่า 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ซึ่งมีอัตราส่วนร่วม r เท่ากับ 3 นั่นเองครับ

และสูตรสำหรับหาพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต (ซึ่งเราจะต้องใช้ในการหาผลบวกด้วย) คือ

$a_n = a_1 r^{n-1}$

โดยที่ an คือ พจน์ที่ n, a1 คือ พจน์แรก และ r คือ อัตราส่วนร่วม ครับ

การหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต (Sn)

การหาผลบวกของลำดับเรขาคณิตนั้นมีแนวคิดการพิสูจน์ที่แตกต่างจากลำดับเลขคณิต แต่ก็สวยงามไม่แพ้กันครับ เราจะใช้เทคนิคการนำ Sn มาคูณด้วย r แล้วนำสมการทั้งสองมาลบกัน เพื่อให้พจน์กลางๆ หายไป เหลือแค่พจน์แรกกับพจน์สุดท้ายครับ

มี 2 กรณีที่ต้องพิจารณาสำหรับสูตรผลบวกครับ

กรณีที่ 1: เมื่อ r ไม่เท่ากับ 1

เรามีสองรูปแบบที่ใช้ได้เหมือนกัน เพียงแค่สลับเครื่องหมายบวกลบครับ น้องๆ เลือกใช้ตามความสะดวก แต่พี่กฤษณ์แนะนำให้ใช้สูตรที่ทำให้ตัวหารเป็นบวกเพื่อลดความผิดพลาดในการคำนวณครับ

$S_n = frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

หรือ

$S_n = frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

กรณีที่ 2: เมื่อ r เท่ากับ 1

ถ้า r = 1 หมายความว่าทุกพจน์ในลำดับมีค่าเท่ากับ a1 ทั้งหมดเลยครับ เพราะฉะนั้น ผลบวก n พจน์แรกก็คือ a1 บวกกัน n ครั้งครับ

$S_n = na_1$

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 2: จงหาผลบวก 5 พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต 2, 6, 18, … ครับ

วิธีทำ:

จากลำดับที่กำหนดให้ เราทราบว่า a1 = 2 ครับ
อัตราส่วนร่วม r = 6 / 2 = 3 ครับ
เราต้องการหาผลบวก 5 พจน์แรก ดังนั้น n = 5 ครับ
เนื่องจาก r = 3 ซึ่งไม่เท่ากับ 1 เราจะใช้สูตร $…$ (เลือกสูตรนี้เพราะ r มากกว่า 1 ทำให้ตัวส่วนเป็นบวกครับ)
แทนค่าลงไปในสูตร:

$S_5 = frac{2(3^5-1)}{3-1}$
$S_5 = frac{2(243-1)}{2}$
$S_5 = frac{2(242)}{2}$
$S_5 = 242$

ดังนั้น ผลบวก 5 พจน์แรกของลำดับนี้คือ 242 ครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาผลบวกเรขาคณิต

หาค่า r ผิด: r คือ a2 หาร a1 เสมอครับ
การยกกำลัง rn: ระวังการคำนวณเลขยกกำลังให้ดีครับ โดยเฉพาะเลขที่เป็นลบหรือเศษส่วน
กรณี r = 1: อย่าเผลอไปใช้สูตรแรกนะครับ เพราะตัวส่วนจะเป็นศูนย์ ซึ่งไม่นิยามทางคณิตศาสตร์ครับ
ลืมวงเล็บ: ในสูตร $…$ ต้องคำนวณในวงเล็บ $…$ ให้เสร็จก่อนแล้วค่อยคูณกับ a1 นะครับ

เทคนิคและมุมมองเพิ่มเติมสำหรับน้องๆ ครับ

1. การแยกแยะชนิดของลำดับ: สิ่งแรกที่น้องๆ ต้องทำเมื่อเจอโจทย์คือ พิจารณาให้ดีก่อนว่าเป็นลำดับเลขคณิตหรือเรขาคณิตครับ ลองเช็คทั้งผลต่างร่วมและอัตราส่วนร่วมดูนะครับ ถ้าผลต่างร่วมคงที่ก็เป็นเลขคณิต ถ้าอัตราส่วนร่วมคงที่ก็เป็นเรขาคณิตครับ

2. การหา n (จำนวนพจน์): บางครั้งโจทย์จะไม่ได้บอก n มาตรงๆ แต่มักจะให้พจน์สุดท้ายมาแทนครับ น้องๆ ก็ต้องใช้สูตรพจน์ที่ n ของลำดับนั้นๆ ( $…$ หรือ $…$ ) เพื่อหาค่า n ออกมาก่อนครับ

3. การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง:

ลำดับเลขคณิต: การวางแผนการออมเงินที่เพิ่มขึ้นคงที่ทุกเดือน, การเรียงสิ่งของเป็นชั้นๆ ที่แต่ละชั้นเพิ่มจำนวนเท่ากัน, การคำนวณค่าแรงที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนปีที่ทำงาน (หากเพิ่มขึ้นคงที่) ครับ
ลำดับเรขาคณิต: การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น (compound interest), การเติบโตของประชากรหรือแบคทีเรีย, การเสื่อมค่าของอุปกรณ์บางชนิด (ที่ลดลงเป็นสัดส่วนคงที่) ครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

สรุปง่ายๆ นะครับน้องๆ สำหรับการหาผลบวก n พจน์แรก:

ลำดับเลขคณิต:
- หาผลต่างร่วม d ครับ (a2 – a1)
- สูตร $…$ (ถ้าทราบพจน์สุดท้าย)
- สูตร $…$ (ถ้าทราบ a1 และ d)
ลำดับเรขาคณิต:
- หาอัตราส่วนร่วม r ครับ (a2 / a1)
- ถ้า r ไม่เท่ากับ 1 ใช้สูตร $…$ หรือ $…$
- ถ้า r เท่ากับ 1 ใช้สูตร $…$

จำหลักการเหล่านี้ไว้ให้ดีนะครับ น้องๆ จะสามารถแก้โจทย์เรื่องการหาผลบวกของลำดับได้อย่างมั่นใจเลยครับ

หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้องๆ เข้าใจเรื่องการหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิตและเรขาคณิตได้ชัดเจนมากขึ้นนะครับ ถ้าหากน้องๆ อยากจะเจาะลึก ฝึกโจทย์เพิ่มเติม หรือต้องการความช่วยเหลือในการติวคณิตศาสตร์ในหัวข้ออื่นๆ พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สเรียนหลากหลายรูปแบบให้เลือกเลยนะครับ ทั้งคอร์สสดที่ได้มาเรียนรู้และพูดคุยกันอย่างใกล้ชิด, คอร์สออนไลน์ที่สามารถเรียนได้ทุกที่ทุกเวลาตามสะดวก, และคอร์สตัวต่อตัวที่พี่กฤษณ์จะช่วยดูแลและแก้ปัญหาน้องๆ ได้อย่างตรงจุดครับ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมและเลือกคอร์สที่เหมาะกับตัวเองได้ในเว็บไซต์นี้เลยนะครับ