ประพจน์และค่าความจริง

ประพจน์และค่าความจริง: รากฐานของตรรกศาสตร์

ก่อนอื่นเลย เรามาทำความรู้จักกับคำว่า “ประพจน์” กันก่อนครับ

ประพจน์คืออะไร?

ประพจน์ (Proposition) คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ที่สามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่า เป็นจริง (True) หรือเป็นเท็จ (False) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น และจะเป็นทั้งจริงและเท็จในเวลาเดียวกันไม่ได้เด็ดขาดเลยนะครับ

ฟังดูง่ายใช่ไหมครับ? แต่หลายครั้งน้องๆ ก็มักจะสับสนอยู่บ้าง เรามาดูตัวอย่างกันดีกว่าครับ

ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์:

• กรุงเทพมหานครเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย (เป็นจริง)
• 1 + 1 = 3 (เป็นเท็จ)
• $5 > 2$ (เป็นจริง)
• โลกไม่ได้โคจรรอบดวงอาทิตย์ (เป็นเท็จ)

ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์:

• เธอสบายดีไหม? (ประโยคคำถาม)
• กรุณาปิดประตู (ประโยคคำสั่ง)
• เขาเป็นคนดี (ประโยคแสดงความคิดเห็น ไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างชัดเจนสำหรับทุกคน)
• $x + 3 = 5$ (ประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร $x$ ทำให้ค่าความจริงขึ้นอยู่กับค่าของ $x$ หากไม่ระบุค่า $x$ ก็ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ)

ข้อควรระวังที่พบบ่อย:

• ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง อุทาน หรือประโยคที่แสดงความคิดเห็น ความรู้สึก มักจะไม่เป็นประพจน์ เพราะเราไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างชัดเจนครับ
• ประโยคเปิดที่มีตัวแปร ไม่เป็นประพจน์ จนกว่าจะมีการระบุค่าของตัวแปรนั้นๆ ครับ

ค่าความจริง (Truth Value)

ค่าความจริงของประพจน์คือสิ่งที่บอกว่าประพจน์นั้น เป็นจริง (True) หรือ เป็นเท็จ (False) ครับ เรามักจะใช้ตัวย่อ T แทน จริง และ F แทน เท็จ ครับ

แต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงเพียงค่าเดียวเท่านั้นนะครับ ไม่มีประพจน์ใดที่เป็นทั้งจริงและเท็จในเวลาเดียวกัน และไม่มีประพจน์ใดที่ไม่มีค่าความจริงเลยครับ

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์

ในทางตรรกศาสตร์ เราสามารถนำประพจน์มาเชื่อมกันเพื่อสร้างเป็น ประพจน์เชิงประกอบ (Compound Proposition) ได้ โดยใช้ตัวเชื่อม (Connectives) ต่างๆ ครับ ซึ่งแต่ละตัวเชื่อมก็จะมีกฎเกณฑ์ในการหาค่าความจริงที่แตกต่างกันไป มาดูกันทีละตัวเลยครับ

เราจะใช้สัญลักษณ์ $p$ และ $q$ แทนประพจน์ย่อยนะครับ

1. นิเสธ (Negation)

สัญลักษณ์: $sim p$ (อ่านว่า “นิเสธของ $p$“, “ไม่ $p$“, “ไม่ใช่ว่า $p$“)
นิเสธจะเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์นั้นให้เป็นตรงกันข้ามครับ

ตารางค่าความจริงของนิเสธ:

$p$	$sim p$
T	F
F	T

ตัวอย่าง:
ถ้า $p$ คือ “วันนี้ฝนตก” (T)
แล้ว $sim p$ คือ “วันนี้ฝนไม่ตก” (F)

2. การเชื่อมด้วย “และ” (Conjunction)

สัญลักษณ์: $p wedge q$ (อ่านว่า “$p$ และ $q$“)
ประพจน์ $p wedge q$ จะเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นเป็นเท็จหมดครับ

ตารางค่าความจริงของ “และ”:

$p$	$q$	$p wedge q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

3. การเชื่อมด้วย “หรือ” (Disjunction)

สัญลักษณ์: $p vee q$ (อ่านว่า “$p$ หรือ $q$“)
ประพจน์ $p vee q$ จะเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นเป็นจริงหมดครับ (จำง่ายๆ ว่า ขอแค่มีอะไรจริงสักอย่างก็พอ)

ตารางค่าความจริงของ “หรือ”:

$p$	$q$	$p vee q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

4. การเชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว…” (Conditional)

สัญลักษณ์: $p rightarrow q$ (อ่านว่า “ถ้า $p$ แล้ว $q$“)
ประพจน์ $p rightarrow q$ จะเป็น เท็จ เพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเมื่อ $p$ เป็นจริง และ $q$ เป็นเท็จ กรณีอื่นเป็นจริงหมดครับ

ตารางค่าความจริงของ “ถ้า…แล้ว…”:

$p$	$q$	$p rightarrow q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

ข้อควรระวัง: ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…” ไม่ได้หมายถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุผลเสมอไปในทางตรรกศาสตร์ครับ แค่เป็นกฎการกำหนดค่าความจริงเท่านั้น

5. การเชื่อมด้วย “…ก็ต่อเมื่อ…” (Biconditional)

สัญลักษณ์: $p leftrightarrow q$ (อ่านว่า “$p$ ก็ต่อเมื่อ $q$“)
ประพจน์ $p leftrightarrow q$ จะเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเหมือนกัน (คือเป็นจริงทั้งคู่ หรือเท็จทั้งคู่) กรณีอื่นเป็นเท็จครับ

ตารางค่าความจริงของ “…ก็ต่อเมื่อ…”:

$p$	$q$	$p leftrightarrow q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

การสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ

น้องๆ สามารถหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบที่ซับซ้อนขึ้นได้โดยการสร้างตารางค่าความจริงครับ
จำนวนแถวในตารางค่าความจริงจะขึ้นอยู่กับจำนวนประพจน์ย่อยที่ไม่ซ้ำกัน (เช่น $p, q, r$) โดยจะมี $2^n$ แถว เมื่อ $n$ คือจำนวนประพจน์ย่อยที่ไม่ซ้ำกันครับ
ถ้ามี 2 ประพจน์ย่อย ($p, q$) จะมี $2^2 = 4$ แถวครับ

ตัวอย่างการสร้างตารางค่าความจริงสำหรับ $p rightarrow (q wedge sim p)$:

$p$	$q$	$sim p$	$q wedge sim p$	$p rightarrow (q wedge sim p)$
T	T	F	F	F
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	F	T

จากตารางจะเห็นว่า ค่าความจริงของประพจน์ $p rightarrow (q wedge sim p)$ ไม่ได้เป็นจริงทั้งหมดหรือเท็จทั้งหมด จึงเป็น สัจจะนิรันดร์ (Tautology) หรือ ขัดแย้ง (Contradiction) แต่เป็น ประพจน์ไม่สมเหตุสมผล (Contingency) ครับ

ประเภทของประพจน์เชิงประกอบ

• สัจจะนิรันดร์ (Tautology): ประพจน์เชิงประกอบที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เช่น $p vee sim p$ (จริงเสมอ ไม่ว่า $p$ จะเป็นอะไรก็ตาม)
• ขัดแย้ง (Contradiction): ประพจน์เชิงประกอบที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี เช่น $p wedge sim p$ (เท็จเสมอ)
• ประพจน์ไม่สมเหตุสมผล (Contingency): ประพจน์เชิงประกอบที่มีค่าความจริงเป็นทั้งจริงและเท็จผสมกันไปตามแต่ละกรณีครับ (ตามตัวอย่างที่พี่กฤษณ์ยกมาข้างบนเลยครับ)

ความสมมูลทางตรรกศาสตร์ (Logical Equivalence)

ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันทางตรรกศาสตร์ ก็ต่อเมื่อทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี หรือเมื่อนำมาเชื่อมกันด้วย $leftrightarrow$ แล้วเป็นสัจจะนิรันดร์ครับ ความสมมูลนี้มีประโยชน์มากในการแปลงรูปประพจน์เพื่อการพิสูจน์หรือการคำนวณที่ง่ายขึ้นครับ

ตัวอย่างกฎความสมมูลที่สำคัญ (กฎของเดอมอร์แกน):
$sim (p wedge q) equiv sim p vee sim q$
$sim (p vee q) equiv sim p wedge sim q$

ทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญ?

น้องๆ อาจจะสงสัยว่าทำไมต้องมาเรียนเรื่องประพจน์และค่าความจริงให้ยุ่งยากด้วย จริงๆ แล้วเรื่องนี้เป็นพื้นฐานของหลายๆ อย่างเลยนะครับ

• วิทยาการคอมพิวเตอร์: ตรรกศาสตร์แบบนี้เป็นหัวใจสำคัญของวงจรดิจิทัลและภาษาโปรแกรมครับ การทำงานของคอมพิวเตอร์ที่เราใช้ทุกวันนี้อยู่บนพื้นฐานของตรรกะแบบ Boolean Logic ที่เป็นเรื่องของประพจน์และค่าความจริงนี่แหละครับ
• คณิตศาสตร์: การพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่บนพื้นฐานของตรรกะที่เข้มแข็ง การเข้าใจประพจน์ช่วยให้เราสร้างข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ได้อย่างมีเหตุผล
• การคิดวิเคราะห์ในชีวิตประจำวัน: ช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์ข้อมูล ข่าวสาร หรือสถานการณ์ต่างๆ ได้อย่างมีตรรกะมากขึ้น ไม่ถูกหลอกง่ายๆ และสามารถตัดสินใจได้อย่างมีเหตุผลครับ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและเทคนิคในการทำข้อสอบ

• สับสนระหว่างประพจน์กับประโยคเปิด: ต้องจำให้แม่นว่าประพจน์ต้องบอกค่าความจริงได้ชัดเจน ส่วนประโยคเปิดมีตัวแปรที่ต้องระบุค่าก่อนถึงจะเป็นประพจน์ได้ครับ
• จำตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมผิด: ตรงนี้สำคัญมาก ต้องฝึกฝนและทบทวนบ่อยๆ หรือใช้การจำแบบเน้นจุดต่าง เช่น “และ” จริงแค่ T-T, “หรือ” เท็จแค่ F-F, “ถ้า-แล้ว” เท็จแค่ T-F, “ก็ต่อเมื่อ” จริงเมื่อเหมือนกัน
• ลำดับการดำเนินการ: ถ้าไม่มีวงเล็บ น้องๆ ต้องรู้ลำดับการคิดนะครับ โดยทั่วไปจะเริ่มจากนิเสธก่อน ตามด้วย “และ”, “หรือ”, “ถ้า-แล้ว” และ “ก็ต่อเมื่อ” เป็นลำดับสุดท้ายครับ แต่ถ้ามีวงเล็บ ให้ทำในวงเล็บก่อนเสมอครับ
• การสร้างตารางค่าความจริง: ควรทำอย่างเป็นระบบ ค่อยๆ หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆ และตัวเชื่อมทีละขั้นตอน จะช่วยลดความผิดพลาดได้ครับ

น้องๆ จะเห็นว่าเรื่องประพจน์และค่าความจริงไม่ได้ซับซ้อนอะไรเลย เพียงแต่ต้องทำความเข้าใจนิยามและกฎของตัวเชื่อมแต่ละตัวให้แม่นยำ และฝึกฝนการสร้างตารางค่าความจริงบ่อยๆ ก็จะคล่องเองครับ

ถ้าหากน้องๆ อยากจะเจาะลึกเนื้อหาคณิตศาสตร์เรื่องนี้และเรื่องอื่นๆ ให้เข้าใจถ่องแท้ พร้อมเทคนิคการทำข้อสอบจากพี่กฤษณ์เพิ่มเติม พี่กฤษณ์ก็มีคอร์สดีๆ มาแนะนำนะครับ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สเรียนสด บรรยากาศเป็นกันเอง หรือคอร์สเรียนออนไลน์ที่น้องๆ สามารถทบทวนได้ทุกที่ทุกเวลา หรือถ้าอยากจะเรียนแบบตัวต่อตัว พี่กฤษณ์ก็จัดให้ได้ครับ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดและข้อมูลเพิ่มเติมของคอร์สเรียนต่างๆ ได้เลยในเว็บไซต์นี้ครับ พี่กฤษณ์รอที่จะพาน้องๆ เก่งคณิตไปด้วยกันนะครับ!