การหาฟังก์ชันผกผันและการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

การหาฟังก์ชันผกผันและการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ก่อนที่เราจะไปพูดถึงการหาฟังก์ชันผกผัน หรือที่น้องๆ อาจจะรู้จักในชื่อ อินเวอร์สฟังก์ชัน (Inverse Function) ได้นั้น พี่กฤษณ์อยากจะพาน้องๆ มาทำความเข้าใจพื้นฐานที่สำคัญมากๆ ก่อน นั่นก็คือเรื่องของ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one Function) ครับ

ฟังก์ชันคืออะไร (ทบทวนกันหน่อย)

น้องๆ คงจำกันได้ว่าฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดหนึ่งที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมน (Domain) จะจับคู่กับสมาชิกในโคโดเมน (Codomain) เพียงตัวเดียวเท่านั้น พูดง่ายๆ คือ $x$ หนึ่งค่า ให้ $y$ หนึ่งค่าเสมอครับ

ตัวอย่างเช่น ถ้าพี่กฤษณ์บอกว่า $f(x) = 2x+1$ ถ้า $x=1$ เราจะได้ $f(1) = 2(1)+1 = 3$ เท่านั้น ไม่มีทางที่ $f(1)$ จะเป็นค่าอื่นพร้อมกันได้ครับ

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one Function) คืออะไร และทำไมถึงสำคัญ?

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ (Range) จะจับคู่กับสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นครับ พูดง่ายๆ คือ นอกจาก $x$ หนึ่งค่า ให้ $y$ หนึ่งค่าแล้ว $y$ หนึ่งค่า ก็ต้องมาจาก $x$ หนึ่งค่าด้วยเช่นกัน

ความสำคัญของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง: การที่ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันได้นั้น ฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น ครับ ถ้าน้องๆ ลองคิดดูว่า ถ้าฟังก์ชันไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง แสดงว่า $y$ ค่าหนึ่ง อาจจะมาจาก $x$ หลายค่าได้ เมื่อเราพยายามจะย้อนกลับ (ผกผัน) จาก $y$ ไปหา $x$ เราก็จะไม่รู้ว่าควรจะกลับไปหา $x$ ตัวไหนดี ทำให้ความสัมพันธ์ที่ได้จากการผกผันนั้น ไม่เป็นฟังก์ชัน นั่นเองครับ

วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

มีอยู่ 2 วิธีหลักๆ ที่น้องๆ สามารถใช้ตรวจสอบได้ครับ

1. การตรวจสอบโดยวิธีพีชคณิต (Algebraic Test)

วิธีนี้เราจะสมมติว่ามี $x_1$ และ $x_2$ สองค่าที่แตกต่างกัน แต่ให้ค่า $f(x)$ เท่ากัน นั่นคือเราจะตั้งสมการ $f(x_1) = f(x_2)$ แล้วพยายามพิสูจน์ว่า $x_1$ ต้องเท่ากับ $x_2$ เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1: ตรวจสอบว่า $f(x) = 3x – 5$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

วิธีทำ:

1. สมมติให้ $f(x_1) = f(x_2)$
2. จะได้ $3x_1 – 5 = 3x_2 – 5$
3. บวก 5 ทั้งสองข้าง: $3x_1 = 3x_2$
4. หารด้วย 3 ทั้งสองข้าง: $x_1 = x_2$

เนื่องจากเราพิสูจน์ได้ว่า $x_1 = x_2$ ดังนั้น $f(x) = 3x – 5$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งครับ

ตัวอย่างที่ 2: ตรวจสอบว่า $f(x) = x^2$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

วิธีทำ:

1. สมมติให้ $f(x_1) = f(x_2)$
2. จะได้ $x_1^2 = x_2^2$
3. ย้ายข้าง: $x_1^2 – x_2^2 = 0$
4. แยกตัวประกอบผลต่างกำลังสอง: $(x_1 – x_2)(x_1 + x_2) = 0$
5. ดังนั้น $x_1 – x_2 = 0$ หรือ $x_1 + x_2 = 0$
6. ซึ่งหมายความว่า $x_1 = x_2$ หรือ $x_1 = -x_2$

จะเห็นว่านอกเหนือจากกรณีที่ $x_1 = x_2$ แล้ว ยังมีกรณีที่ $x_1 = -x_2$ ด้วย เช่น ถ้า $x_1 = 2$ และ $x_2 = -2$ จะได้ $f(2) = 2^2 = 4$ และ $f(-2) = (-2)^2 = 4$ ซึ่งหมายความว่ามี $x$ สองค่าที่แตกต่างกัน ให้ค่า $y$ เดียวกัน ดังนั้น $f(x) = x^2$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ครับ

2. การตรวจสอบโดยใช้กราฟ (Horizontal Line Test)

วิธีนี้ง่ายมากๆ ครับ น้องๆ แค่ลองลากเส้นตรงแนวนอน (Horizontal Line) ไปตัดกราฟของฟังก์ชัน ถ้าเส้นตรงแนวนอนเส้นไหนก็ตาม ตัดกราฟของฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ครับ

• ถ้าน้องๆ ลองวาดกราฟ $f(x) = 3x – 5$ จะพบว่าเป็นเส้นตรง การลากเส้นแนวนอนจะตัดกราฟเพียงจุดเดียวเสมอ ดังนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
• แต่ถ้าเป็นกราฟ $f(x) = x^2$ ซึ่งเป็นพาราโบลาหงาย น้องๆ จะเห็นว่าถ้าเราลากเส้นแนวนอนที่ค่า $y$ ที่เป็นบวก มันจะตัดกราฟถึง 2 จุดเสมอ (เช่น $y=4$ ตัดที่ $x=2$ และ $x=-2$) ดังนั้นจึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งนั่นเองครับ

การจำกัดโดเมนเพื่อทำให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

สำหรับฟังก์ชันที่โดยธรรมชาติแล้วไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เช่น $f(x) = x^2$ เราสามารถ “บังคับ” ให้มันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้โดยการ จำกัดโดเมน (Restrict the Domain) ของฟังก์ชันนั้นๆ ครับ

เช่น ถ้าเราพิจารณา $f(x) = x^2$ บนโดเมน $x ge 0$ เท่านั้น กราฟจะเป็นเพียงครึ่งหนึ่งของพาราโบลา (ด้านขวา) ซึ่งเมื่อลากเส้นแนวนอนแล้วจะตัดกราฟเพียงจุดเดียวเสมอ ทำให้ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนที่ถูกจำกัดนั้นครับ

ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) คืออะไร

ฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}(x)$ (อ่านว่า เอฟอินเวอร์สเอ็กซ์) คือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่ “ย้อนกลับ” การทำงานของฟังก์ชันเดิม $f(x)$ ครับ

• ถ้า $f(a) = b$ แล้ว $f^{-1}(b) = a$
• โดเมนของ $f(x)$ จะกลายเป็นเรนจ์ของ $f^{-1}(x)$
• เรนจ์ของ $f(x)$ จะกลายเป็นโดเมนของ $f^{-1}(x)$

และอีกคุณสมบัติที่สำคัญมากๆ คือ $(f circ f^{-1})(x) = x$ และ $(f^{-1} circ f)(x) = x$ ครับ นั่นคือ ถ้าเราทำฟังก์ชัน $f$ แล้วตามด้วย $f^{-1}$ ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือค่าเดิมที่ใส่เข้าไปนั่นเองครับ

ขั้นตอนการหาฟังก์ชันผกผัน

ถ้าน้องๆ ตรวจสอบแล้วว่าฟังก์ชัน $f(x)$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็มาถึงขั้นตอนการหา $f^{-1}(x)$ กันครับ โดยทำตามขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้

1. แทน $f(x)$ ด้วย $y$: เปลี่ยนรูปแบบฟังก์ชันเป็น $y = f(x)$
2. สลับตัวแปร $x$ และ $y$: เปลี่ยนสมการเป็น $x = f(y)$ ขั้นตอนนี้แหละครับที่เป็นหัวใจของการหาอินเวอร์ส
3. จัดรูปสมการเพื่อหา $y$ ในรูปของ $x$: แก้สมการที่ได้จากข้อ 2 เพื่อให้ $y$ อยู่โดดๆ ฝั่งหนึ่ง และมีแต่ $x$ อยู่ในอีกฝั่งหนึ่ง
4. แทน $y$ ด้วย $f^{-1}(x)$: ฟังก์ชันที่ได้ในข้อ 3 คือฟังก์ชันผกผันที่เราต้องการครับ

ตัวอย่างการหาฟังก์ชันผกผัน

ตัวอย่างที่ 3: จงหาฟังก์ชันผกผันของ $f(x) = 3x – 5$

วิธีทำ: (จากตัวอย่างที่ 1 เรารู้แล้วว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)

1. ให้ $y = 3x – 5$
2. สลับ $x$ และ $y$: $x = 3y – 5$
3. จัดรูปหา $y$:
   • $x + 5 = 3y$
   • $y = frac{x+5}{3}$
4. ดังนั้น $f^{-1}(x) = frac{x+5}{3}$

ตัวอย่างที่ 4: จงหาฟังก์ชันผกผันของ $g(x) = x^2$ เมื่อ $x ge 0$

วิธีทำ: (เนื่องจากมีการจำกัดโดเมน ทำให้ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)

1. ให้ $y = x^2$ โดยที่ $x ge 0$
2. สลับ $x$ และ $y$: $x = y^2$ โดยที่ $y ge 0$ (เพราะ $y$ เดิมคือ $x$ ที่ถูกจำกัด)
3. จัดรูปหา $y$:
   • $y = pm sqrt{x}$
   • เนื่องจาก $y ge 0$ เราจึงเลือก $y = sqrt{x}$
4. ดังนั้น $g^{-1}(x) = sqrt{x}$

ข้อควรระวัง: โดเมนของ $g^{-1}(x)$ จะเป็นเรนจ์ของ $g(x)$ ซึ่งคือ $[0, infty)$ นั่นเองครับ

ตัวอย่างที่ 5: จงหาฟังก์ชันผกผันของ $h(x) = frac{2x+1}{x-3}$ เมื่อ $x ne 3$

วิธีทำ: (ฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วน (Linear Fractional Function) แบบนี้จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอครับ ยกเว้นกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์มีความสัมพันธ์พิเศษ แต่โดยทั่วไปคือเป็น)

1. ให้ $y = frac{2x+1}{x-3}$
2. สลับ $x$ และ $y$: $x = frac{2y+1}{y-3}$
3. จัดรูปหา $y$:
   • $x(y-3) = 2y+1$
   • $xy – 3x = 2y + 1$
   • ย้ายเทอมที่มี $y$ ไปอยู่ฝั่งเดียวกัน: $xy – 2y = 3x + 1$
   • ดึงตัวร่วม $y$ ออก: $y(x-2) = 3x + 1$
   • $y = frac{3x+1}{x-2}$
4. ดังนั้น $h^{-1}(x) = frac{3x+1}{x-2}$ โดยที่ $x ne 2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Mistakes)

• ลืมตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่: นี่คือข้อผิดพลาดที่ร้ายแรงที่สุดครับ ถ้าน้องๆ ไม่ตรวจสอบก่อน ก็อาจจะพยายามหาอินเวอร์สของฟังก์ชันที่ไม่มีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันได้
• สับสนระหว่าง $f^{-1}(x)$ กับ $frac{1}{f(x)}$: น้องๆ มักจะเข้าใจผิดว่า $f^{-1}(x)$ หมายถึง $frac{1}{f(x)}$ ซึ่งไม่ถูกต้องนะครับ เครื่องหมาย $^{-1}$ ในบริบทของฟังก์ชันหมายถึง “อินเวอร์สฟังก์ชัน” ไม่ใช่ “ส่วนกลับ” ครับ
• การจัดรูปสมการผิดพลาด: โดยเฉพาะในฟังก์ชันที่ซับซ้อน เช่น ฟังก์ชันเศษส่วนพหุนาม หรือฟังก์ชันที่มีราก การแก้สมการหา $y$ อาจต้องใช้เทคนิคทางพีชคณิตที่แม่นยำครับ
• ลืมพิจารณาโดเมนและเรนจ์: โดเมนของ $f^{-1}(x)$ คือเรนจ์ของ $f(x)$ และเรนจ์ของ $f^{-1}(x)$ คือโดเมนของ $f(x)$ การกำหนดโดเมนที่ถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการจำกัดโดเมนของฟังก์ชันเดิมครับ

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันไม่ได้มีประโยชน์แค่ในการเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้นนะครับน้องๆ แต่ยังมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาเลยทีเดียว เช่น

• การแปลงหน่วย: เช่น การแปลงอุณหภูมิจากเซลเซียสเป็นฟาเรนไฮต์ และกลับกัน ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน
• วิทยาการคอมพิวเตอร์และเข้ารหัส: การเข้ารหัสข้อมูล (Encryption) และการถอดรหัส (Decryption) หลายวิธีอาศัยหลักการของฟังก์ชันผกผัน เพื่อให้สามารถแปลงข้อมูลกลับไปกลับมาได้อย่างถูกต้อง
• เศรษฐศาสตร์: ฟังก์ชันอุปสงค์และอุปทานบางครั้งก็สามารถมองในมุมของฟังก์ชันผกผันได้ เพื่อทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างราคาและปริมาณ
• ฟิสิกส์: ในวิชาฟิสิกส์หลายแขนง เมื่อเราต้องการย้อนรอยสถานะของระบบจากผลลัพธ์ที่ได้ ฟังก์ชันผกผันก็เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ถูกนำมาใช้ครับ

สรุปแนวคิดสำคัญ

ก่อนจบบทความนี้ พี่กฤษณ์อยากให้น้องๆ จำแนวคิดสำคัญเหล่านี้ไว้ให้ขึ้นใจนะครับ

• ฟังก์ชันผกผันจะมีได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น
• การตรวจสอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทำได้โดยวิธีพีชคณิต ($f(x_1) = f(x_2) Rightarrow x_1 = x_2$) หรือการทดสอบด้วยเส้นตรงแนวนอน (Horizontal Line Test)
• ขั้นตอนการหาฟังก์ชันผกผันคือ 1) แทน $f(x)$ ด้วย $y$ 2) สลับ $x$ กับ $y$ 3) จัดรูปสมการหา $y$ 4) แทน $y$ ด้วย $f^{-1}(x)$
• อย่าลืมพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันผกผัน ซึ่งเป็นเรนจ์และโดเมนของฟังก์ชันเดิมตามลำดับ

เรื่องฟังก์ชันผกผันและการตรวจสอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญที่น้องๆ จะต้องใช้บ่อยๆ ในคณิตศาสตร์ระดับสูงขึ้นไป ไม่ว่าจะเป็นเรื่องแคลคูลัส หรือวิชาอื่นๆ ที่ต้องมีการแปลงกลับไปกลับมาครับ ถ้าสงสัยตรงไหน หรืออยากได้เทคนิคเพิ่มเติมในการทำโจทย์ยากๆ

พี่กฤษณ์ยินดีช่วยน้องๆ ทุกคนครับ น้องๆ สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคอร์สเรียนของพี่กฤษณ์ ไม่ว่าจะเป็นคอร์สสด คอร์สออนไลน์ หรือคอร์สตัวต่อตัว ได้ในเว็บไซต์นี้เลยครับ เราจะมาติวเข้มและทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ไปด้วยกันอย่างสนุกสนานและเป็นกันเองครับ